He leído que el de Euler, utiliza la suma de la fórmula para calcular el valor de la serie $\sum_{k =1}^{\infty} \frac{1}{k^2}$ a de alta precisión sin demasiados problemas. El artículo Danzas entre continuo y discreto: Euler suma fórmula entra en el cálculo, sin embargo, sin demasiada justificación de por qué funciona (sobre todo desde que la serie se utiliza para calcular el límite no convergen y uno tiene que truncar en un punto determinado). Yo estaría encantado si alguien podría elaborar de una manera más moderna punto de vista sobre cómo y por qué funciona.
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En primer lugar, puede ser demostrado, en muchas maneras, que $$ \sum_{k=1}^\infty\frac1{k^2}=\frac{\pi^2}{6}\etiqueta{1} $$ Sin embargo, el de Euler-Maclaurin Suma Fórmula puede ser utilizada para numéricamente suma de esta serie a de alta precisión. Antes de intentar hacer esto, vamos a hablar un poco acerca de la forma asintótica de la serie.
En general, asintótica de la serie, como los derivados de Euler-Maclaurin Suma Fórmula (EMSF), son divergentes. Esto significa que si se trató de la suma de todos los términos derivados de la fórmula, la suma podría no converger. Por ejemplo, el EMSF da el siguiente asintótica de expansión: $$ \sum_{k=1}^n\frac1k\sim\gamma+\log(n)+\frac1{2n}-\frac1{12n^2}+\frac1{120n^4}-\frac1{252n^6}+\frac1{240n^8}-\frac1{132n^{10}}+\dots\tag{2} $$ donde $\gamma=0.5772156649015328606065121$ es el de Euler-Mascheroni constante.
Esta expansión se ve bien atendidos, y es, hasta cierto punto. Sin embargo, los coeficientes de crecer en el orden de $\frac{n!}{(2\pi)^n}$; en el momento en que llegamos al término de $n^{50}$, tenemos $$ \frac{19802288209643185928499101}{132n^{50}}\etiqueta{3} $$ Debido a la tasa de crecimiento de los coeficientes, no importa cuán grande $n$ es, esta serie no puede converger.
Sin embargo, si sólo utilizamos un número finito de términos, la serie es una muy buena aproximación para un gran $n$. Como se mencionó anteriormente, la expansión se comporta bien, hasta un punto. Lo que esto significa es que para un determinado $n$, los términos se hacen más pequeños, y entonces, en algún punto, empezar a volar. El punto en el que el plazo de inicio de la voladura es más a lo largo de la mayor $n$ es. La parte buena es que si damos por terminada la suma, mientras que los términos están siendo cada vez más pequeños, la aproximación suele ser tan bueno como el siguiente término.
Por ejemplo, vamos a aproximar $$ \sum_{k=1}^{1000}\frac1k=7.4854708605503449126565182\etiqueta{4} $$ el uso de la primera $4$ términos de $(2)$: $$ \gamma+\log(1000)+\frac1{2000}-\frac1{12000000}=7.4854708605503365793271531\etiqueta{5} $$ El resultado en $(5)$ $8.333329365\times10^{-15}$ menor que el valor real en $(4)$. El siguiente término es $$ \frac1{120000000000000}=8.333333333\times10^{-15}\etiqueta{6} $$
Ahora vamos a ver cómo el EMSF se puede utilizar para aproximar $(1)$
El EMSF aplicado a $\dfrac1{k^2}$ rendimientos $$ \sum_{k=1}^n\frac1{k^2}\sim C-\frac1n+\frac1{2n^2}-\frac1{6n^3}+\frac1{30n^5}-\frac1{42n^7}+\frac1{30n^9}-\frac5{66n^{11}}\tag{7} $$ Tenga en cuenta que el EMSF tiene siempre una constante que debe determinarse de otra manera. En $(2)$$\gamma$, el de Euler-Mascheroni constante. Aquí, $C$ es la suma de la serie; es decir, como $n\to\infty$, el lado izquierdo de $(7)$ tiende a la suma, y todo en el lado derecho de la $(7)$, con la excepción de $C$, tiende a $0$.
Para calcular los $C$, utilizaremos $n=100$ y truncar la serie en el $n^9$ plazo. El error que vamos a obtener debe ser de menos de $\dfrac5{66n^{11}}$, lo que nos daría casi $23$ decimales.
Para $n=100$, la suma de la izquierda de $(7)$ es $$ \sum_{k=1}^{100}\frac1{k^2}=1.6349839001848928650771695\etiqueta{8} $$ Para $n=100$, la suma de los términos a la derecha de $(7)$ otros de $C$ es $$ -\frac1n+\frac1{2n^2}-\frac1{6n^3}+\frac1{30 n^5}-\frac1{42n^7}+\frac1{30n^9} =-0.0099501666633335713952381\etiqueta{9} $$ Restando $(9)$ $(8)$ da $$ C\stackrel{.}{=}1.6449340668482264364724076\etiqueta{10} $$ mientras que $$ \frac{\pi^2}{6}=1.6449340668482264364724152\etiqueta{11} $$ El valor de $(10)$ $7.6\times10^{-24}$ corto de $(11)$$\dfrac5{66n^{11}}=7.6\times10^{-24}$.
El uso de un mayor $n$, y posiblemente más términos de la serie, dan más precisión.
Felix Marin
Puntos
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Por ejemplo: \begin{align} \sum_{n = 1}^{\infty}{1 \over n^{2}} &=\sum_{n = 1}^{N}{1 \over n^{2}} + \sum_{n = 1}^{\infty}{1 \over \pars{n + N}^{2}} \approx\sum_{n = 1}^{N}{1 \over n^{2}} +\int_{0}^{\infty}{\dd x \over \pars{x + N}^{2}} =\sum_{n = 1}^{N}{1 \over n^{2}} + {1 \over N} \end{align}
Este '$\ds{\tt\mbox{extremely simple formula}}$', por ejemplo, se obtiene un error relativo de la $\ds{1.14\ \%}$ $\ds{N = 5}$.
Históricamente, parece Euler estaba convencido, por medio de Euler-Maclaurin fórmula, que el valor correcto se $\ds{\pi^{2} \over 6}$ antes de que él trató de demostrarlo.
