Aproximación a $ \sqrt{2}$

Question

Soy de primer año de los estudiantes de Pregrado de la India. Nuestro profesor se va a iniciar un Análisis Real curso en septiembre y me estaba preparando para las iniciales. He probado y resuelto muchos problemas, pero esto me tiene confundido. Probablemente, la principal razón de la confusión es que mi libro ha citado como Hardy problema.

Si $\dfrac {m}{n}$ es una buena aproximación a $\sqrt{2}$, demuestran que, a $\dfrac{m+2n}{m+n}$ mejor, y que los errores en los dos casos son en dirección opuesta. Aplicar este resultado para demostrar que el límite de la secuencia $\dfrac{1}{1}$, $\dfrac{3}{2}$,$\dfrac{7}{5}$,$\dfrac{17}{12}$,$\dfrac{41}{29}$,.... es $ \sqrt{2}$.

Necesito ayuda con respecto a la primera parte del problema, ya que la segunda parte es evidente. El más simple, el lenguaje, el mejor es para mí.

Answer 1

SUGERENCIA $\ $ Nota de que desde $\rm\:\dfrac{m}n\:\dfrac{2\:n}m\:=\:2,\:$ una fracción es menor que $\:\sqrt{2}\:$ y la mayor de otros. Además de sus mediant $\rm\:\dfrac{m+2n}{n+m}\:$ es estrictamente entre ellos, siendo la pendiente de la diagonal $\rm\:(n,m)+(m,2n)\:$ del paralelogramo formado por los vectores $\rm\:(n,m)\:$ $\rm\:(m,2n)\:.\:$ aprender más de la búsqueda de los términos: el desarrollo, Farey de la serie y continuó fracción.

Answer 2

Supongamos $\frac{m}{n} $ es ligeramente más grande que la de $\sqrt{2}$, de modo que podemos escribir $\frac{m}{n}= \sqrt{2}(1+\epsilon)$ donde $\epsilon >0$ es pequeña.

A continuación, $$\frac{m+2n}{m+n} = \frac{ \frac{m}{n} +2}{\frac{m}{n} +1} = \frac{ \sqrt{2}(1+\epsilon)+2}{\sqrt{2}(1+\epsilon) + 1} = \sqrt{2} \left(1- \left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1+\sqrt{2}\epsilon}\right)\epsilon \right)$$

Tenga en cuenta que $\sqrt{2}+1+\sqrt{2}\epsilon> \sqrt{2}+1 $. También, desde la $1<\sqrt{2}< \frac{3}{2}$,$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} < \frac{1}{4}$, $$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1+\sqrt{2}\epsilon}<\frac{1}{4}.$$

Por lo tanto, $\frac{m+2n}{m+n}$ es ligeramente menor que $\sqrt{2}$, y la diferencia de $\sqrt{2}$ es menor en magnitud que la estimación anterior, y disminuye por un factor de al menos $4$ con cada iteración.

En una manera similar se puede mostrar el otro caso.

EDIT: me fortaleció las estimaciones a la dirección de la velocidad de convergencia problemas de Andrés Caicedo criado en un comentario anterior.

Answer 3

Hacemos los "sentidos opuestos" y "mejor aproximación" de las piezas, incluyendo una estimación de cuánto mejor.

Tenemos la intención de asumir que $m$ $n$ son positivas, y, de hecho, que son positivos enteros. En el argumento de abajo, no tenemos necesidad de $m$ $n$ a ser números enteros, pero sí supone que son positivos. Algunas hipótesis debe ser hecho, desde $m=-1$, $n=1$ rápidamente nos lleva al desastre!

Mira $$\frac{m+2n}{m+n}-\sqrt{2}.$$ Esto es igual a $$\frac{m+2n-m\sqrt{2}-n\sqrt{2}}{m+n},$$ que a su vez es igual a $$-\frac{(\sqrt{2}-1)(m-n\sqrt{2})}{m+n}.$$ Dividir la parte superior e inferior por $n$. Tenemos que la expresión anterior es igual a $$-\frac{(\sqrt{2}-1)(\frac{m}{n}-\sqrt{2})}{1+\frac{m}{n}}.$$ Así llegamos a la conclusión de que $$\frac{m+2n}{m+n}-\sqrt{2}=\left(-\frac{\sqrt{2}-1}{1+\frac{m}{n}}\right)\left(\frac{m}{n}-\sqrt{2}\right).$$

Tenga en cuenta que el "factor de multiplicación" $-\frac{\sqrt{2}-1}{1+\frac{m}{n}}$ es negativo. Eso significa que si $\frac{m}{n}-\sqrt{2}$ es negativa, entonces la $\frac{m+2n}{m+n}-\sqrt{2}$ es positivo, y si $\frac{m}{n}-\sqrt{2}$ es positivo, $\frac{m+2n}{m+n}-\sqrt{2}$ es negativo. Por lo tanto las aproximaciones alternativas entre demasiado grande y demasiado pequeño.

Tenga en cuenta también que el factor de multiplicación $-\frac{\sqrt{2}-1}{1+\frac{m}{n}}$ tiene valor absoluto menos de $\sqrt{2}-1$, que es menos de $0.5$. Por lo que el valor absoluto del error cuando nos aproximado de $\sqrt{2}$ $\frac{m+2n}{m+n}$ es menos de la mitad del valor absoluto del error cuando nos aproximado de $\sqrt{2}$$\frac{m}{n}$.

Tenga en cuenta que podemos hacer una mejor estimación de la tasa de aproximación a $\sqrt{2}$, si suponemos que partimos de $m=n=1$. Para entonces, para siempre, nuestra aproximación será mayor que la de $1$, por lo que el factor de multiplicación tiene valor absoluto $(\sqrt{2}-1)/(1+m/n)$, que es menos de $(\sqrt{2}-1)/2$.

Answer 4

En primer lugar, vamos a $x_k = \frac{m}{n}$,$x_{k+1} = \frac{x_k +2}{x_k+1}$.

Observe que $x_{k+1} - x_k = \frac{2-x_k^2}{1+x_k}$ y $x_{k+1}^2 - 2 = \frac{2-x_k^2}{(1+x_k)^2}$.

Por lo tanto si $0< x_k <\sqrt{2}$,$x_{k+1} > \sqrt{2}$. También desde aquí

$$ \vert x_{k+1}^2 - 2 \vert < \vert x_k^2 - 2 \vert $$ para $x_k > 0$. Por lo tanto $x_k$ converge a $\sqrt{2}$ $x_k - \sqrt{2}$ es una secuencia alternante.

Answer 5

Un poco surrealista y perezoso solución usando Mathematica para hacer las cosas más fáciles:

(* your two guesses *) 
guess1 = m/n 
guess2 = (m+2*n)/(m+n) 

(* if you square your guesses and subtract from 2, you get signed 
closeness to 2; squaring again eliminates the sign *) 

dist1 = (guess1^2-2)^2 
(-2 + m^2/n^2)^2 

dist2 = (guess2^2-2)^2 
(m^2 - 2*n^2)^2/(m + n)^4 

(* We want dist2 < dist1; under what cases can that fail? *) 
Reduce[{dist1 <= dist2, m>0, n>0}, Reals] 
n > 0 && m == Sqrt[2]*Sqrt[n^2] 

Así, el único caso donde dist1 es IGUAL a dist2 es cuando m/n es Sqrt[2], que es, por supuesto, imposible.