$\def\{\alpha}
\def\{\widetilde\a}
\def\b{\beta}
\def\d{\delta}
\def\j{\psi}
\def\J{\Psi}
\def\JT{\widetilde\J}
\def\l{\lambda}
\def\L{\Lambda}
\def\p{\pi}
\def\w{\omega}
\def\det{\mathrm{det'}\,}
\def\dt{\frac{\partial}{\partial t}}
\def\diag{\mathrm{diag}}
\def\ub{\mathfrak{ub}}$
Un simple factor determinante
Primero vamos a echar un vistazo a un problema relacionado, para determinar
$$\det\left(\dt - i \a\right)$$
donde $\a$ es algunos escalares.
(Recordemos que el análogo de la conmutación es la multiplicación.)
Algunas de las dificultades de la plena problema ya existe en este más simple.
Estamos buscando los vectores propios del operador $\dt - i \a$, es decir, para las soluciones de la ecuación
$$\left(\dt - i \a\right)\j = \L \j.$$
Los vectores propios se $\j(t) = e^{i\w t}$, con autovalores $\L = i(\w-\a)$.
La imposición de periódicos de las condiciones de contorno, $\j(\b) = \j(0)$, nos encontramos con $\w_m = 2m\p/\b$ donde $m\in\mathbb{Z}$.
Por lo tanto, los autovalores son cuantificadas,
$\L_m = i\left(\frac{2 m\p}{\b}-\a\right).$
Suponemos que $\a\ne 2m\p/\b$ cualquier $m\in\mathbb{Z}$, lo $\L_m \ne 0$.
En particular, $\L_0 = -i\a \ne 0$.
A continuación, el producto $\det$ rangos de todas las $m$,
$$\begin{eqnarray*}
\det\left(\dt - i \a\right)
&=& \prod_{m=-\infty}^\infty \L_m \\
&=& \L_0 \prod_{m\ne 0} \L_m \\
&=& \L_0 \prod_{m\ne 0} i\left(\frac{2 m\p}{\b}-\a\right) \\
&=& \L_0 \prod_{m\ne 0} \frac{2m\p i}{\b}
\left(1-\frac{\a\b}{2\p m}\right) \\
&=& \L_0 \left(\prod_{m=1}^\infty \left(\frac{2m\p}{\b}\right)^2 \right)
\prod_{m=1}^\infty \left(1-\left(\frac{\a\b}{2\p m}\right)^2\right) \\
&=& \L_0 \frac{2}{\a\b}\sin\frac{\a\b}{2}
\prod_{m=1}^\infty \left(\frac{2m\p}{\b}\right)^2 \\
&=& -\frac{2i}{\b}\sin\frac{\a\b}{2}
\prod_{m=1}^\infty \left(\frac{2m\p}{\b}\right)^2.
\end{eqnarray*}$$
Anteriormente hemos utilizado el infinito representación de los productos para la función seno,
$\sin x = x\prod_{m=1}^\infty \left(1-\frac{x^2}{m^2\pi^2}\right)$.
El factor determinante en general
Asumimos que el álgebra es un finito dimensionales semisimple Mentira álgebra $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$.
Considere la ecuación
$$\begin{equation*}
\dt\J - i [\a,\J] = \L \J.\tag{1}
\end{ecuación*}$$
Los objetos $\a$ $\J$ $n\times n$ matrices en el adjunto de la representación de la Mentira de álgebra donde $n$ es el número de elementos en el álgebra.
Somos libres para aplicar una transformación de similitud (1), y en lugar de resolver
$$\begin{equation*}
\dt\JT - i [\at,\JT] = \L \JT,\tag{2}
\end{ecuación*}$$
donde $\widetilde A = U^{-1}AU$, e $U$ es independiente del tiempo.
De hecho, podemos diagonalize $\alpha$ con esta transformación,
$\at = \diag(\l_1,\ldots,\l_n)$, lo $\at$ es en el Cartan subalgebra.
(Ver el ejemplo para $\su(3)$ a continuación).
Vamos a elegir como base de las matrices de $e_{ab}$ donde $a,b=1,\ldots,n$, de tal manera que
los componentes son
$$(e_{ab})_{ij} = \d_{ai} \d_{bj},$$
donde $\d$ es la delta de Kronecker.
Entonces
$$[\at,e_{ab}] = (\l_a - \l_b) e_{ab},$$
por lo que el $e_{ab}$s son vectores propios de a $\at$.
(Esto es fácil de demostrar con el hecho de que $\at = \sum_a \l_a e_{aa}$.)
Por lo tanto, los vectores propios de (2)$\JT = e_{ab}e^{i\w t}$, desde
$$\begin{eqnarray*}
\dt\JT - i [\at,\JT]
&=& \left(i\w - i(\l_a-\l_b)\right)\JT.
\end{eqnarray*}$$
La imposición de la condición de contorno $\JT(\beta) = \JT(0)$ encontramos
$$\L_m^{ab} = i\left(\frac{2m\pi}{\beta} - (\l_a-\l_b)\right).$$
Para cada $a,b$ hay una torre infinita de valores propios correspondientes al índice de $m$.
Observe que $\L\ne 0$ si y sólo si
$\l_a-\l_b \ne 2m\p/\b$.
Para $m\ne0$ y un genérico $\b$, $\l_a-\l_b \ne 2m\p/\b$.
Para $m=0$, $\L \ne 0$ si y sólo si $\l_a - \l_b \ne 0$.
Por lo tanto,
$$\begin{eqnarray*}
\det\left(\dt - i [\a,\,]\right)
&=& \left(\prod_{\l_a\ne\l_b} \L_0^{ab} \right)
\left(\prod_{m\ne0\atop a,b} \L_m^{ab}\right) \\
&=& \left(\prod_{\l_a\ne\l_b} \L_0^{ab}\right)
\left(\prod_{m\ne0\atop a,b}
i\left(\frac{2m\pi}{\beta} - (\l_a-\l_b)\right)
\right) \\
&=& \left(\prod_{\l_a\ne\l_b} \L_0^{ab}\right)
\left(\prod_{a,b}
\frac{2}{(\l_a-\l_b)\b}\sin\frac{(\l_a-\l_b)\b}{2}
\prod_{m=1}^\infty \left(\frac{2m\p}{\b}\right)^2\right) \\
&=& \left(\prod_{\l_a\ne\l_b} \L_0^{ab}\right)
\left(\prod_{\l_a\ne\l_b}
\frac{2}{(\l_a-\l_b)\b}\sin\frac{(\l_a-\l_b)\b}{2}\right)
\left(\prod_{m=1\atop a,b}^\infty \left(\frac{2m\p}{\b}\right)^2\right) \\
&=& \left(\prod_{\l_a\ne\l_b}
-\frac{2i}{\b}\sin\frac{(\l_a-\l_b)\b}{2}
\right)
\left(\prod_{m=1\atop a,b}^\infty \left(\frac{2m\p}{\b}\right)^2\right).
\end{eqnarray*}$$
Convencerse de que la manera correcta de interpretar
$\prod_{\l_a=\l_b} \frac{2}{(\l_a-\l_b)\b}\sin\frac{(\l_a-\l_b)\b}{2}$
es $\prod_{\l_a=\l_b}1 = 1$.
Intuitivamente, $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$.
Observe la similitud entre este resultado y el de la anterior.
La fórmula para $\det\left(\dt-i[\a,\,]\right)$ dada en la pregunta declaración faltan algunos factores.
Para los lectores no familiarizados con este tipo de cálculos,
que aparecen en la física con bastante regularidad, y preocupado por el producto
$\prod_{m=1\atop a,b}^\infty \left(\frac{2m\p}{\b}\right)^2$,
puede aliviar (un poco más) para saber que esto es sólo
$\det\left(\dt\right)$ y normalmente estamos interesados en los objetos de la forma
$$\frac{\det\left(\dt-i[\a,\,]\right)}{\det\left(\dt\right)}.$$
Ejemplo: los Autovalores de a $\at$ $\su(3)$
Utilizamos la estructura de las constantes típicas de la física, $f_{abc}$, para la construcción de la adjoint representación $(t_a)_{bc} = -i f_{abc}$.
El Cartan subalgebra es de dos dimensiones.
Simultáneamente diagonalize $t_3$$t_8$, por lo que
$\at = x \widetilde t_3 + y \widetilde t_8$,
donde $x$ $y$ son algunas de las constantes.
Para ser explícitos,
$$t_3 = \estilo de texto\left(
\begin{array}{cccccccc}
0 & -i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -\frac{i}{2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{i}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{i}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -\frac{i}{2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)$$
$$t_8 = \estilo de texto\left(
\begin{array}{cccccccc}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -\frac{i \sqrt{3}}{2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{i \sqrt{3}}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -\frac{i \sqrt{3}}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{i \sqrt{3}}{2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)$$
Hasta permutación,
$$\a = \diag\left(
x,
-x,
\frac{1}{2}(x+\sqrt{3} y),
\frac{1}{2}(x-\sqrt{3} y),
-\frac{1}{2}(x+\sqrt{3} y),
-\frac{1}{2}(x-\sqrt{3} y),
0,0\right).$$
Los elementos de la diagonal de arriba son los autovalores $\l_a$.
