Ejemplo de abrir dos bolas tales que la una con el radio más pequeño contiene el uno con el radio más grande.
No encuentro un espacio métrico en el que esto es cierto. En busca de consejos en la dirección correcta.
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camickr
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137095
Han considerado que el trivial $1$ punto de espacio métrico? Cada bola es el mismo.
En general, elija cualquier espacio con un punto aislado. A continuación, puede tener igual bolas alrededor de él con diferentes radios.
También tenga en cuenta que cada espacio métrico puede ser limitada por cortar la distancia, es decir,$d'(x,y)=\min(d(x,y),1)$. A continuación, $B(x,r)=B(x,r')$ cualquier $r,r'\ge1$.
Si usted está buscando en una bola de radio más grande estrictamente contenida en una bola de radio más pequeño, considere el espacio métrico como el intervalo de $[-1,1]$ que es una bola abierta de radio $\frac43$ $0$ que estrictamente contiene una bola abierta de radio $\frac53$$1$.
Mira el plano de ($\mathbb{R}^2$) en el llamado post-office métrica. Denota la norma habitual en el avión por $\|x\|$, podemos definir esta métrica para dos puntos distintos $x$ $y$ en el plano como $d(x,y) = \|x\| + \|y\|$, e $d(x,x) = 0$, por supuesto. Uno fácilmente se comprueba que esta es una métrica.
La intuición es que para ir de un punto a a $x$ $y$necesitan para viajar a través de la "oficina de correos", que es el origen $(0,0)$. Uno ve que cada punto de $x \neq (0,0)$ es un punto aislado, y que abra las bolas alrededor de $(0,0)$ son los mismos que los de siempre.
Ahora mira a $B((0,0), \frac{3}{2})$$B((1,0), 2)$. El último consiste en la costumbre de abrir la bola alrededor de $(0,0)$ radio $1$ $(1,0)$ sí, que es un subconjunto de la anterior, que tiene un radio más pequeño.
Arno
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Si sólo quieres la contención, el trivial de espacio métrico con un solo punto es el mejor ejemplo.
Si quieres que la bola con el radio mayor es un subconjunto del uno con el radio más pequeño que deberán tener los diferentes centros, pero luego es bastante sencillo.
Dependiendo de sus preferencias, como por ejemplo, tomar:
3 puntos a, b, c con d(a,b) = d(b,c) = 1 y d(a,c) = 2. Entonces B(b,1.5) = {a,b,c} y B(a,1.6) = {a,b}.
O tomar la unidad intervalo [0;1], y luego considerar las bolas B(0.5,0.6) y B(0,0.7).
Balgerda
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Consejo: mirar $\mathbb{R}^2$. Puede definir algunas métricas extrañas en $\mathbb{R}^2$. Sería más fácil si se define la métrica para ser muy trivial (es decir, un constante) para dos puntos cualquiera fuera de un subconjunto pequeño de $\mathbb{R}^2$ (decir, la parte negativa de uno de los ejes). Recuerdo responder a esta pregunta para una tarea de Munkres y el hecho de que, en mi ejemplo, la métrica era constante no solamente en el positivo $y$-eje (en comparación con el entero $y$-eje) fue crucial.
