Hacer un espacio del vector a "casa" una parábola

Question

He tenido esta idea me parece interesante.

Una línea en un plano o en el espacio que pasa por el origen del sistema es un espacio vectorial porque si se suman o se multiplica por un escalar cualquiera de sus elementos, el resultado se mantiene en la línea. Del mismo modo, un plano en el espacio es un espacio vectorial.

Ahora, una parábola, evidentemente, no lo es. Si se toman dos puntos en ella y añadir a ellos, ellos rara vez resultan en un punto que todavía está en la parábola. Así que tengo que pensar que si hay un camino para la construcción de un espacio vectorial (redefinir la suma y la multiplicación escalar) que puede ser traducido a una parábola en el estándar de sistema de coordenadas.

Bien. Mi idea original era simplemente tener la línea de $u = v$ y luego dicen que no hay una correlación entre ese espacio vectorial y una parábola. Algo como $y = au^2 + bu + c$ pero, a continuación, algunas de las cosas que quería trabajar no trabajan. Por ejemplo, si yo quería encontrar la distancia entre una parábola y un punto, me gustaría ser capaz de hacer una proyección ortogonal del punto de la parábola y, a continuación, calcular la distancia entre esos dos puntos.

Yo, obviamente, no puede proyectar un punto en la $u = v$ línea desde el punto debe estar en el mismo espacio, como la parábola es, pero no hay manera (que yo sepa) para traducir cualquier punto de las parábolas espacio especial para el estándar de sistema de coordenadas a menos que el punto es, en realidad, en la parábola.

Tal vez hay un camino para la construcción de una coordenada, por lo que sería una especie de warped resultante en el eje x de convertirse en una parábola? Lo que me gustaría, esencialmente, como es tener un punto en el estándar de las coordenadas, pero colocado en el perverso sistema. A continuación, "unwarp" el sistema de coordenadas, así que conseguir el mismo punto en el estándar real del sistema de coordenadas. A continuación, el proyecto de el punto sobre el eje x, por ejemplo, y deformar el sistema de coordenadas de nuevo, así que conseguir el punto de la parábola. A continuación, calcular la distancia entre el punto inicial y el punto nuevo.

Esto no está relacionado con algún problema específico o nada. Sólo algo que yo quería saber.

Answer 1

Os animo a leer Hartshorne de la Geometría Algebraica para una rigurosa forma de razonar acerca de esta idea, ya que hay mucho más a esto que salta a la vista, incluyendo riguroso formas en que una parábola sería generalizar un espacio vectorial.

Tomar la parábola a ser el conjunto de ceros de $y-x^2$. Ahora, si $y-x^2=0$$y-d=0$,$d-x^2=0, \implies x=\sqrt{d}.$, con Lo que se puede identificar cada uno de los puntos de la parábola (en este naiive modelo) con un solo real de coordenadas, como el otro depende de ella. Tomar una línea vertical para el conjunto de ceros (en dos coordenadas) de $x-c, c \in \mathbb{R}$. Ahora, si usted determinar la intersección de la línea con la parábola, se obtiene un punto en el estándar de las coordenadas del punto de intersección, una de esas coordenadas le da la coordenada en la parábola del sistema de coordenadas, y su elección de $c$ es la de coordinar para la proyección de la línea en la $x$ eje.

$y-x^2=0, x=c \implies y-c^2=0 \implies y=c^2,$ lo que nos da $[c^2]$ en la parábola de coordenadas (por lo que decidí usar $y$), $[x,y]=[c,c^2]$ en el estándar de las coordenadas, y $[c]$ de las coordenadas de la proyección sobre el $x$ eje (e $[c^2]$ $x-c$ coordenadas).

Entonces supongo que iba a hacer esta sustitución de $x-c$ con cada línea del lápiz de $[c,0]$ a de proyecto en la línea ortogonal a ella, la búsqueda de uno que es de la línea normal a un punto de la parábola, y por lo tanto hace que la línea más corta.

Pero tratando de responder a tu pregunta no me parece bien que usted realmente necesita una solución tanto como un lugar para explorar estas cosas. Tal vez usted también estaría interesado en La Geometría de los Esquemas, que se lleva a algunas anillo de la teoría para comprender verdaderamente, pero también puede ser leído a la inversa, como un oculto diccionario de anillo de la teoría a la geometría. Si alguna vez impide su construcción de la maquinaria, se puede explorar la mayoría de las cosas de mucho de primaria y puntos de vista como el sintético de la geometría y los sistemas de ecuaciones lineales. Por ejemplo, usted puede tener acceso a la tangente paquete a la parábola a través básicas de cálculo. Usted no puede, sin embargo, encontrar el extra oculto punto en la recta real, que es una vergüenza.