Resolver $4 \times2^x+3^x=5^x$ sin ningún tipo de calculadora

Question

¿Hay alguna manera puedo solucionar la siguiente ecuación sólo mediante el uso de las matemáticas de secundaria? $$4 \times2^x+3^x=5^x$$

Intenté escribir $5$ $2+3$ pero no obtuvo ningún resultado.

Después de que i intentado dividir en $5^x$ y ver cómo va la función, pero, por desgracia no me tiene en algún lugar tampoco.

Answer 1

Suponiendo que $x$ que ser natural, $$ 5^x-3^x=(5-3)(5^{x-1}+3\cdot5^{x-2}+3^2\cdot5^{x-3}+\cdots+3^{x-1}) = 4\cdot2 ^ x\\ \implies (5^{x-1}+3\cdot5^{x-2}+3^2\cdot5^{x-3}+\cdots+3^{x-1})=4\cdot2^{x-1} $$ cada término en el lado izquierdo parece $3^{n}5^{x-1-n}>2^n2^{x-1-n}=2^{x-1}$.

Hay $x$ número de términos en el lado izquierdo. Si hay $4$ o más términos en el lado izquierdo, cada uno de ellos sea mayor que $2^{x-1}$ y la ecuación no se sostendría. Así $1\le x\le 3$. Marcando manualmente $x=1,2,3$ vemos $x=2$ es una solución.

Answer 2

Sugerencia: Divida ambos lados por $5^x$ y notar que el lado izquierdo está disminuyendo terminantemente, puesto que es la suma de dos funciones estrictamente decrecientes, y la derecha es constante. Se deduce que nuestra ecuación tiene a lo más una solución. Puede usted encontrarlo?;-$)$

Answer 3

Sugerencia: analizar esta función y tratar de probar $x=2$ es solamente solución $$f\left( x \right) =4\cdot 2^{ x }+3^{ x }-5^{ x }$ $

Answer 4

Has probado usar $2+3=5$ sin ningún resultado. Un enfoque ligeramente diferente "flash de insight" sería invocar a Pitágoras: $3^2+4^2=5^2$.

Answer 5

Al principio pensé que era bastante simple si se utiliza el logaritmo de las reglas. Yo hubiera cometido un error en alguna parte ya me estoy haciendo x = -1. Tal vez mi método será útil, así que voy a postear aquí:

Primer paso: tomar la 3^x a RHS;

Segundo paso: el uso de logaritmos en ambos lados;

Tercer paso: escribir 4 como 2^2 (de ahí su LHS es log ( 2^(2+x)) );

Cuarto paso: utilizar el logaritmo de la regla sobre RHS así obtener (2+x)*log(2) ;

Fifht paso: utilizar el logaritmo de las reglas en LHS : log(5^x - 3^x) = log(5^x)/log(3^x) = (x * log5)/ (x * log3). La x de curso se cancela por lo tanto, tenemos log5/log3;

Sexto paso: dividir ambos lados por el registro(2), de ahí su RHS = 2+x y su LHS = log5 / (log2 * log3). sin embargo, una vez más aplica la regla de registro para la LHS, por lo tanto, tenemos log5/log5 que es de 1, pero luego terminamos con x+2 = 1 por lo tanto x = -1. Obviamente, esto no es el caso, ya que puede ser fácilmente demostrado por taponamiento en x = -1 que no es la ecuación.

Buena suerte!