Mostrando que $\mathbb{Q}(\zeta_p, \sqrt[p]{\ell}) = \mathbb{Q}(\zeta_p + \sqrt[p]{\ell})$ $p,\ell$ números primos.

Question

Consideramos el polinomio $x^p - \ell$ donde $p,\ell$ son ambos números primos. Deje $\zeta_p$ $p$- ésima raíz de la unidad. Queremos mostrar que $L = \mathbb{Q}(\zeta_p, \sqrt[p]{\ell})$ es lo mismo que $K = \mathbb{Q}(\zeta_p + \sqrt[p]{\ell})$. Aquí están algunos de los hechos que ya lo han probado:

• El polymial $x^p - \ell$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$.
• $[\mathbb{Q}(\zeta_p) : \mathbb{Q}] = p-1$ $[\mathbb{Q}(\sqrt[p]{\ell}):\mathbb{Q}] = p$.
• $L = \mathbb{Q}(\zeta_p,\sqrt[p]{\ell})$ es la división de campo de la $x^p - \ell$ y tiene un grado $[\mathbb{Q}(\zeta_p,\sqrt[p]{\ell}) : \mathbb{Q}] = p(p-1) = p^2 - p$. Además, $L$ es una extensión de Galois de $\mathbb{Q}$.

Mi primer intento fue el de mostrar tanto las inclusiones. Uno es trivial, pero el otro es mucho, mucho más difícil, es decir, mostrando el $\mathbb{Q}(\zeta_p,\sqrt[p]{\ell}) \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_p + \sqrt[p]{\ell})$. Yo pensaba que la expansión de $(\zeta_p + \sqrt[p]{\ell})^p$ con el binomio de expansión sería útil, pero resulta ser más feo que yo esperaba.

Asimismo, os aviso de que una forma de reducir el problema es mostrar que la única automorphism $\sigma \in \mathrm{Aut}(L/\mathbb{Q})$ que corrige $\zeta_p + \sqrt[p]{\ell}$ es el mapa de identidad $1$, por lo que el $L$ $K$ deben de coincidir. Desde $\sigma(\zeta_p + \sqrt[p]{\ell}) = \sigma(\zeta_p) + \sigma(\sqrt[p]{\ell})$ $\sigma$ sólo permutes las raíces, podemos ver que $\zeta_p + \sqrt[p]{\ell} \mapsto \zeta_p^m + \zeta_p^n\sqrt[p]{\ell}$ bajo $\sigma$ algunos $m,n \in \{1,\ldots,p-1\}$. Por lo tanto, es suficiente para mostrar que $$\zeta_p + \sqrt[p]{\ell} = \zeta_p^m + \zeta_p^n\sqrt[p]{\ell} \iff (m,n) = (1,0)$$ para concluir. Sin embargo, no sé a dónde ir desde allí.

Cualquier ayuda o sugerencia será muy apreciada. Si hay un más fácil para mostrar esto, por favor hágamelo saber.

Answer 1

Estaban muy cerca de la solución completa. Si $n\neq 0$, se puede volver a escribir la igualdad como

$$ \sqrt[p]{\ell}=\frac{\zeta_p-\zeta_p^m}{1-\zeta_p^n} $$

Así que usted deduce $\sqrt[p]{\ell} \in {\mathbb Q}(\zeta_p)$, y es muy fácil para terminar de allí.

Answer 2

Tomar una real opción positiva para $\sqrt[p]{\ell}$, y para$\zeta$$\exp(2i\pi /p)$. La suma de $\zeta +\sqrt[p]\ell$ estarán más cerca del eje real, mientras que $\zeta^m +\zeta^n\sqrt[p]\ell$ puede estar lejos del eje real (fácil de visualizar para $\ell\gg p$.)

Answer 3

Si $L=F(\theta)$ $f(\theta)$ es un polinomio en a $\theta$ de grado menor que $ [L:F]$,$f(\theta)\ne0$. Corolario: $f(\theta)=g(\theta)$ como valores en $L$ implica $f(x)=g(x)$ como polinomios en $F[x]$ si $\deg f,\deg g< [L:F]$.

Considere la posibilidad de aplicar este conocimiento a$F=\Bbb Q(\zeta_p)$$\theta=\sqrt[p]{\ell}$.

Si bien esto no es tan elegante como Ewan la respuesta, creo que el de arriba es un importante, natural e intuitiva hecho de tener en su arsenal al pensar acerca de los elementos en un campo de extensión dado en una base de poder.