¿Existen situaciones en las que la Regla de L'Hopital NO funcionará?

Question

Hoy fue mi primer día aprendiendo la Regla de L'Hopital y me preguntaba si hay alguna situación en la que no se pueda usar esta regla, con la excepción de cuando un límite es determinable.

Answer 1

Considera la función $f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}$, para todo $x\ne 0\in \mathbb R$, y $f(0)=0$ (o toma cualquier otra función con la propiedad de que todas las derivadas en $0$ se anulan, pero la función no es constantemente local en $0$). Ahora supongamos que te piden calcular $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{f(x)}$. Por supuesto, este límite es $1$ simplemente trabajando primero la fracción, y luego tomando el límite. Sin embargo, si intentas usar la regla de L'Hopital te das cuenta de que se cumplen las condiciones, pero $\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{f'(x)}$ sigue siendo de forma indeterminada. Nuevamente L'Hopital es aplicable, y nuevamente $\lim_{x\to 0}\frac{f''(x)}{f''(x)}$ es indeterminado. Esto continuará para siempre. Entonces, aunque el límite se puede determinar, y aunque las condiciones para la regla de L'Hopital se cumplen repetidamente, nunca obtendrás el resultado de esta manera.

Answer 2

La regla de L'Hopital falla si $$\lim_{x\to x_0} \frac f g \text{ existe pero} \lim_{x\to x_0}\frac {f'}{g'} \text{no lo hace}$$.

por ejemplo, $$\lim_{x\to \infty} \frac {x+\sin x}x$$.

Me pregunto si podríamos extender la generalización del teorema de Stolz–Cesàro al caso continuo - es decir, si $$\liminf \frac {f'}{g'}\le \liminf \frac f g\le \limsup \frac f g\le \limsup \frac {f'}{g'}$$ para $x\to \infty$ en todos los límites y $\lim f=\lim g=\infty$.

Answer 3

De una manera más sutil, a menudo se olvidan las hipótesis: debe existir un vecindario $V$ de $a$ tal que en $V\smallsetminus\{a\}$, ni $g(x)$ ni $g'(x)$ se anulen.

Usar el polinomio de Taylor es mucho más seguro. O mejor aún, cuando sea posible, usar equivalentes del numerador y del denominador es más elegante.

Answer 4

Nuestro primer paso para entender mejor cuándo se aplica la Regla de L'Hospital es considerar su declaración formal. Es un teorema, por lo tanto siempre es correcto; solo tenemos que asegurarnos de que todas las suposiciones/hipótesis necesarias sí se cumplen para el límite que estamos tratando de evaluar. ¡Echemos un vistazo!

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Teorema (Regla de L'Hospital para límites por la derecha):

Sean $f$, $g$ dos funciones:

Condición 1. Que sean diferenciables en el intervalo $(a,b)$, donde permitimos la posibilidad de $a = -\infty$ y/o $b = +\infty$

Condición 2. Tal que la derivada de $g$ nunca sea cero en ese intervalo

Condición 3. Satisfaciendo $\text{ }\text{ }\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^+} g(x) = 0\text{ }\text{ }$ o $\text{ }\text{ }\lim_{x \to a^+} g(x) = \pm \infty $

Condición 4. Satisfaciendo $\text{ }\text{ }\lim_{x \to a^+} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} = L\text{ }\text{ }$ (donde permitimos la posibilidad de que $L$ sea un número real, $+\infty$ o $-\infty$).

Entonces

$\text{ }\text{ }\lim_{x \to a^+} \dfrac{f(x)}{g(x)} = L\text{ }\text{ }$

Para límites por la izquierda, reemplace todas las ocurrencias de $x \to a^+$ con $x \to b^-$.

Para límites "normales", simplemente verifique que ambas partes de los teoremas de L'Hospital se apliquen y que el límite por la izquierda encontrado sea igual al límite por la derecha encontrado. Esto es correcto porque sabemos que un límite existe si y solo si los límites laterales existen y son iguales.

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Ver la declaración formal del teorema de L'Hospital es muy útil para entender cuándo se puede aplicar. Echemos un vistazo de nuevo y hagamos algunas observaciones:

Observación 1. Asegúrate de que tu función sea diferenciable en ese intervalo $(a, b)$. Si tomas $x \to a^+$, por ejemplo, recuerda que eres libre de elegir $b$. Puedes elegir $b$ tan cercano a $a$ como desees. El único problema aquí sería si tu función es tan extraña que, no importa qué tan cerca te acerques a $a$, aún no sea diferenciable en ese pequeño intervalo.

Observación 2. Después de encontrar ese intervalo $(a, b)$, asegúrate de que $g'$ nunca sea cero dentro de ese intervalo. De nuevo, recuerda, si tu intervalo no funcionó, no te rindas todavía, trata de ver si hay un intervalo más pequeño que cumpla con tus necesidades.

Observación 3. Solo puedes aplicar si obtienes $\frac{0}{0}$ o el denominador tiende a infinito.

Observación 4. La última condición dice que debes poder calcular de alguna forma $\text{ }\text{ }\lim_{x \to a^+} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}\text{ }\text{ }$, tal vez con otra aplicación de la Regla de L'Hospital.

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Ejemplo

Consideremos que quieres aplicar la Regla de L'Hospital para calcular $$\lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin(x)}$$

Verifiquemos las cuatro condiciones.

Condición 1. Si elegimos $a = 0$ y $b = 2\pi$, tanto $f$ como $g$ son diferenciables en $(0,2\pi)$, por lo que está bien.

Condición 2. Desafortunadamente, la derivada de $g$ es cero para $p = \frac{\pi}{2}$, y esto violaría la Condición 2. Afortunadamente, podemos evitar este problema eligiendo un intervalo más pequeño, $a = 0$ y $b = \frac{\pi}{4}$, por ejemplo. Ahora, ambas funciones son diferenciables en el intervalo y la derivada de $g$ nunca es cero.

Condición 3. Tenemos la primera opción, porque $\text{ }\text{ }\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} g(x) = 0\text{ }\text{ }$

Condición 4. Tenemos $\text{ }\text{ }\lim_{x \to 0^+} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{\cos(x)} = L\text{ }\text{ }$ donde $L = 1 \in \mathbb{R}$

Por lo tanto, se cumplen todas las condiciones y concluimos que

$$\text{ }\text{ }\lim_{x \to 0^+} \dfrac{x}{\sin(x)} = 1\text{ }\text{ }$$

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Ejemplos que no funcionarán

Veamos ejemplos que incumplen las condiciones dadas. Estamos llegando a responder tu pregunta.

Para la condición 1. Toma $f$ como la Función de onda triangular, y quieres calcular el límite cuando $x \to \infty$. El problema aquí es que no puedes elegir ningún $a \in \mathbb{R}$ tal que $f$ sea diferenciable en $(a,\infty)$, porque siempre habrá un pico de la onda triangular dentro de ese intervalo, y la función no es diferenciable en ese pico.

Para la condición 2. Toma $g(x) = \sin(\frac{1}{x})$, y quieres calcular el límite cuando $x \to 0$. El problema aquí es que no puedes elegir ningún $b > 0$ tal que $g'$ nunca sea cero en $(0,b)$, porque siempre habrá una cantidad infinita de picos seno en cualquier intervalo $(0,b)$ (mira un gráfico de $\sin(\frac{1}{x})$).

Para la condición 3. Te desafío a pensar en este ejemplo, no debería ser muy difícil.

Para la condición 4. Steven Gubkin dio este ejemplo en su respuesta: considera $f(x) = x+\sin(x)$ y $g(x) = x$. El límite de $\frac{x + \sin(x)}{x}$ sí existe cuando $x \to \infty$, pero $\lim_{x \to \infty} \frac{1+\cos(x)}{1}$ no existe.

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TL;DR y Palabras Finales

• La Regla de L'Hospital es un teorema matemático, por lo tanto siempre es correcta. Solo debes verificar si todas las hipótesis se cumplieron. Al principio de esta respuesta, se dan las cuatro condiciones para que el Teorema se cumpla.

• Presta atención a lo que realmente dice el teorema: dadas las hipótesis necesarias, si el límite de $\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ existe, entonces el límite de $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ también existe y esos límites son iguales.

• Hay situaciones en las que el teorema es aplicable, y correcto (por supuesto), pero inútil, si el nuevo límite es tan difícil (o incluso más difícil) de calcular que el primero. Alex Zorn dio un excelente ejemplo de esto en su respuesta:

$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x}$$

La Regla de L'Hospital es aplicable en este caso, y es correcta, pero no es útil porque el nuevo límite es tan difícil como el primero, y no has hecho ningún progreso.

Una última cosa (dato curioso). En tu pregunta, dijiste

Hoy fue mi primer día aprendiendo la Regla de L'Hospital, y me preguntaba si hay situaciones en las que no se pueda usar esta regla, con la excepción de cuando un límite es determinable.

Un detalle interesante es que la excepción que mencionaste no es realmente una excepción. Si el límite es fácilmente determinable, pero aún cumple con las condiciones del teorema, el teorema sigue siendo correcto, por ejemplo:

$$\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x}$$

Las funciones $f(x) = 1$ y $g(x) = x$ cumplen con las cuatro condiciones en cualquier intervalo $(a, \infty)$, para cualquier $a > 0$, por lo tanto puedes aplicar la Regla de L'Hospital a ello, y obtendrás

$$\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x} = \lim_{x \to \infty}\frac{0}{1} = 0$$

Por cierto, este tipo de análisis se hace en cursos de Análisis Real, en caso de que estés interesado en aprender más, te recomiendo fuertemente tomar ese curso.

Answer 5

Aquí tienes un ejemplo de por qué debes tener cuidado:

$ \begin{align*} \lim_{x \to \infty} \frac{x+\sin(x)}{x} &= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x}(x+\sin(x))}{\frac{d}{dx}(x)}\\ &= \lim_{x \to \infty} \frac{1+\cos(x)}{1}\\ \end{align*} $

Este último límite no existe, por lo que podrías concluir que el límite original tampoco.

De hecho,

$ \begin{align*} \lim_{x \to \infty} \frac{x+\sin(x)}{x} &= \lim_{x \to \infty} 1+ \frac{\sin(x)}{x}\\ &= 1 \end{align*} $

ya que puedes usar el teorema del sandwich para probar que $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin(x)}{x} = 0$.

¿Qué pasó?

Una de las hipótesis de la regla de l'Hopital es que $\lim \frac{f'}{g'}$ existe.