Secuencia infinita de espacios distintos, todos con la misma homología

Question

Utilizando el siguiente hecho, tenemos infinitamente muchos no homotópica mapas de $f_k:S^{2n-1}\to S^n\vee S^n$.

Hecho: $\pi_{2n-1}(S^n\vee S^n)$ contiene un $\Bbb Z$-sumando.

Por lo que podemos considerar los espacios de $X_k=(S^n\vee S^n)\sqcup_{f_k}D^{2n}$. Por supuesto, todos ellos tienen el mismo (co)homología de grupos, $\Bbb Z\oplus\Bbb Z$ grado $n$ $\Bbb Z$ grado $2n$.

Quiero mostrar que la $X_k\not\simeq X_j$ $k\neq j$ el uso de la taza de la estructura del producto. (Sé que se puede hacer uso de homotopy grupos, pero tengo curiosidad sobre una solución alternativa)

Por ejemplo, $X_0=S^n\vee S^n\vee S^{2n}$ desde $f_0$ es nullhomotopic. También sospecho que $f_1$ es la fijación de mapa de la $2n$-celda de $S^n\times S^n$. Por lo tanto, en $X_1$ la copa de dos grados $n$ generadores es un generador de grado de la $2n$.

Yo conjetura de que en $X_k$ la copa de dos grados $n$ generadores de es $k$-a veces un generador de grado de la $2n$. ¿Es esto cierto? ¿Cómo puedo demostrarlo?

Edit: El 'hecho' viene de la siguiente manera: Para todos los espacios de $X,Y$ LES de $(X\times Y, X\vee Y)$ se divide para dar la iso $$\pi_i(X\vee Y) \cong \pi_i(X\times Y) \oplus \pi_{i+1}(X\times Y, X\vee Y)$$

Especializada a $X=Y=S^n$, uno puede demostrar que no es una iso $\pi_{2n}(S^n\times S^n, S^n\vee S^n)\stackrel{\cong}{\to}\pi_{2n}(S^{2n})$ inducida por el cociente mapa. Así, $$\pi_{2n-1}(S^n\vee S^n)\cong \pi_{2n-1}(S^n\times S^n)\oplus \pi_{2n}(S^{2n}).$$ The map $f_k\en \pi_{2n-1}(S^n\vee S^n)$ is thus the image of a degree $k$ map $S^{2n}\S^{2n}$ under the inclusion $\pi_{2n}(S^{2n})\hookrightarrow \pi_{2n-1}(S^n\vee S^n)$.

Answer 1

Esto no directamente a la dirección que usted pregunta, pero ya que usted dijo que estaban interesados, aquí vamos:

Hay una familia infinita de simplemente conectado cerrado colectores de tener isomorfo homotopy, homología, y cohomology grupos en todas las dimensiones, que se distinguen por su cohomology anillo. Los espacios son de todos los $S^2$ paquetes de más de $\mathbb{C}P^2\sharp \mathbb{C}P^2$.

Para empezar, No es un $T^2$ acción en $S^3\times S^3$$(z,w)\ast(p,q) = (zwp, z^2 w q)$, donde pensamos de $p,q$ como unidad de cuaterniones y $z$ $w$ como unidad de los números complejos. Esta acción es gratuita y el cociente del espacio de $(S^3\times S^3)/T^2$ es diffeomorphic a $\mathbb{C}P^2\sharp \mathbb{C}P^2$, como se muestra en la Totaro del papel "Cheeger colectores y la clasificación de biquotients"

Ahora, considere la posibilidad de la $T^2$ acción en $S^2$$(z,w) p = z^m w^n \,p\, \overline{z}^m \overline{w}^n$, donde estamos pensando en $S^2$ como la longitud de la unidad puramente imaginario cuaterniones.

A continuación, tenemos una diagonal de acción de $T^2$$S^2\times (S^3\times S^3)$. La proyección en el segundo factor da el cociente del espacio de $M_{m,n} = [S^2\times (S^3\times S^3)]/T^2$ la estructura de un paquete de más de $\mathbb{C}P^2\sharp \mathbb{C}P^2$ con fibra de $S^2$. El uso de este y el Gysin secuencia, uno puede fácilmente demostrar la homología y la cohomology grupos de $M_{m,n}$ son isomorfos a los de $S^2\times S^2\times S^2$, independiente de $m$$n$.

También tenemos un director bundle $T^2\rightarrow S^2\times(S^3\times S^3)\rightarrow M_{m,n}$. El uso de los ARCHIVOS en homotopy grupos asociados a esto, se deduce que $\pi_k(M_{m,n}) \cong \pi_k(S^2\times S^2\times S^2)$ todos los $k$.

Finalmente, en mi tesis, he calculado la estructura de anillo. El cohomology anillo de $M_{m,n}$ está dado por $\mathbb{Z}[u,v,w]/I$ donde $I$ es el ideal generado por $u^2 + 2uv$, $uv + v^2$ y $muw + nvw + w^2$.

A continuación, se puede demostrar que el número de $m^2 + (m-n)^2$ es un invariante de la cohomology anillo. De hecho, he demostrado que los $H^\ast(M_{m,n})\cong H^\ast(M_{m',n'})$ fib $m^2 + (m-n)^2 = m'^2 + (m'-n')^2$ y el tanto $m-m'$ $n-n'$ son incluso.

Answer 2

Creo que encontré una forma de demostrar que cata de dos grados $n$ generadores en $X_k$ da $k$ veces un grado $2n$ generador.

Vamos a hacerlo en detalle para $k=2$. Creo $k>2$ pueden ser tratados de una manera similar.

El mapa de $f_1:S^{2n-1}\to S^n\vee S^n$ es la imagen de $1\in \Bbb Z$ en la composición de la $$\Bbb Z\stackrel{deg}{\longleftarrow}\pi_{2n}(S^{2n})\stackrel{q_*}{\longleftarrow}\pi_{2n}(S^n\times S^n, S^n\vee S^n)\stackrel{\partial}{\longrightarrow} \pi_{2n-1}(S^n\vee S^n)$$ donde $q$ es el cociente mapa colapso de la cuña ($q_*$ es un isomorfismo por homotopy de la escisión). Si denotamos por a $\Phi:(D^{2n},S^{2n-1})\to (S^n\times S^n, S^n\vee S^n)$ el mapa de características de la $2n$ celda, a continuación, la composición de la $q\circ \Phi$ tiene el grado $1$. Esto demuestra que $f_1$ es precisamente la restricción de $\Phi$. En otras palabras, $f_1$ es la fijación de mapa de la $2n$ celular en $S^n\times S^n$. En particular, $f_2$ $2f_1=f_1+f_1$ (la suma de $\pi_{2n-1}(S^n\vee S^n$).

El espacio de $X_1=S^n\times S^n$ puede ser visto como $C_{f_1}$ (el cono de $f_1$) y de manera similar, $X_2=C_{2f_1}$. Hay una natural mapa de $p:C_{2f_1}\to C_{f_1\vee f_1}$ que se derrumba el disco ecuatorial en el $2n$ celular. El mapa inducida por $p$ en el celular de la cadena de complejos envía el $2n$ celular en $C_{2f_1}$ a la suma de los dos $2n$ células en $C_{f_1\vee f_1}$, dicen, $p_{\#}:e^{2n}_{2f_1}\longmapsto b^{2n}_{f_1\vee f_1}+d^{2n}_{f_1\vee f_1}$. Denotar mediante las correspondientes letras griegas de la cohomology clases dual a las células. A continuación, la inducida por el mapa en cohomology es la siguiente: $$p^*:H^*(C_{f_1\vee f_1})\longrightarrow H^*(C_{2f_1})\\ \beta\mapsto \epsilon \\\delta\mapsto \epsilon$$

Ahora vamos a $\alpha_1,\alpha_2\in H^n(C_{2f_1})$ ser los generadores que se doble a los dos $n$ de las células. Del mismo modo, elegir los generadores $\alpha_1',\alpha_2'\in H^n(C_{f_1\vee f_1})$. Desde $p$ restringido a la $n$-esqueleto es un homeomorphism, tenemos $p^*(\alpha_i')=\alpha_i$. Por otra parte, la restricción a las dos copias de $C_{f_1}$ sentado en $C_{f_1\vee f_1}$, podemos ver que $\alpha_1'\cup \alpha_2'=\beta+\delta$.

Este rendimientos $\alpha_1\cup \alpha_2=p^*(\alpha_1'\cup \alpha_2')=p^*(\beta+\delta)=2\epsilon$. Que es lo que queríamos demostrar.