Cómo probar un PDE conserva la masa?

Question

Mi pregunta es: supongamos que se le de una PDE (posiblemente con condiciones de contorno). ¿Qué significa decir que el PDE "conserva la masa"?

Específicamente, si se le da la PDE $$- \nabla \cdot (a(x) \nabla u(x)) = f(x) \quad \text{in a domain $\Omega$,}$$ $$u = 0 \quad \text{ on } \partial \Omega,$$ ¿cómo podría usted determinar si "la masa se conserva"?

Mi conjetura sería que la misa es la integral de la $\int_\Omega u(x) \, dx$. Pero si este es el caso, no sé cómo probar si es constante o no.

Edit: En este problema específico, no hay tiempo que conlleva, así que en realidad no se puede utilizar un tiempo de derivados. Sin embargo, es el inicio del problema de la homogeneización del procedimiento, de modo que realmente se lee $$- \nabla \cdot (a_\epsilon(x) \nabla u_\epsilon(x)) = f(x) \quad \text{in a domain $\Omega$,}$$ $$u_\epsilon = 0 \quad \text{ on } \partial \Omega.$$

Por lo que la conservación de la masa podría estar relacionado con el $\epsilon$, pero yo no lo creo (porque por el contexto deduzco que determinar si el problema se conserva la masa se supone debe ser hecho por un determinado $\epsilon$).

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

El concepto de conservación de la masa (o cualquier otra cantidad significativa) se aplica generalmente a tiempo de las ecuaciones dependientes, como la ecuación del calor $$ u_t-\Delta u=0, $$ o la ecuación de onda $$ u_{tt}-\Delta u=0. $$ Para la ecuación del calor de conservación de la masa (o de calor, para ser más precisos) significa que $\int_\Omega u(x,t)\,dx$ es constante (es decir, que no dependen de $t$.)

Answer 2

El tiempo es independiente de la PDE se dio: \begin{align} - \nabla \cdot (a(x) \nabla u(x)) &= f(x) \quad \text{in }\Omega, \\ u &= 0 \quad \text{ on } \partial \Omega, \end{align} normalmente, es el equilibrio limite de tiempo dependiente problema: $$ \frac{\partial u}{\partial t}- \nabla \cdot (a(x) \nabla u(x,t)) = f(x), $$ donde dejamos $t\to \infty$, y $$ \lim_{t\to \infty}\frac{\partial u}{\partial t} = 0, $$ esto se traduce, $u$ no será cambiado a lo largo de con el tiempo ya en el estado de equilibrio. Si $u$ es la densidad de la masa en $\Omega$, entonces no va a cambiar con respecto al tiempo, así que supongo que la "conservación de la masa", en OP significa esto.

Podemos dejar $$ u(x)= \lim_{t\to \infty}u(x,t) $$ que resuelve el tiempo de resolución independiente. Asumimos que todo es bonito y suave nos puede intercambiar el límite de la integral, entonces $$ \lim_{t\to \infty}\frac{d}{dt}\int_{\Omega} u = \lim_{t\to \infty}\int_{\Omega}\frac{\partial u}{\partial t} = \int_{\Omega} \nabla \cdot (\nabla u) + \int_{\Omega} f = 0. $$

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En la ecuación, \begin{align} - \nabla \cdot (a_{\epsilon}(x) \nabla u_{\epsilon}(x)) &= f(x) \quad \text{in }\Omega, \\ u_{\epsilon} &= 0 \quad \text{ on } \partial \Omega, \end{align} la media de "conservación" es bastante sencillo: Para cualquier subconjunto $M\subset \Omega$ $$ \text{Constante} = \int_{M}f = -\int_{M}\nabla \cdot (a_{\epsilon} \nabla u_{\epsilon}) = \int_{\partial M} a_{\epsilon} \nabla u_{\epsilon}\cdot \nu \,dS, $$ donde $-a_{\epsilon} \nabla u_{\epsilon}$ es el flujo de masa de densidad de $u_{\epsilon}$. En una arbitraria de la región de $M$ dentro de este dominio, La cantidad total de masa de flujo en el límite de $M$ es una constante independiente de $\epsilon$ cualquier $\epsilon$.

Answer 3

Leyes de conservación implica una cierta noción de 'tiempo' en la que una cantidad $M(t)$, al igual que la masa de $$\int_\Omega u(x,t) \,\mathrm d x$$ se conserva.

Esto es equivalente a probar que $$\frac {\mathrm d}{\mathrm d t}\int_\Omega u(x,t) \,\mathrm d x = \int_\Omega \frac {\partial}{\partial t} u(x,t) \,\mathrm d x = 0$$

Por ejemplo, una ecuación de la forma $$\frac {\partial u}{\partial t} = \nabla \cdot (F(u,\nabla u,x,t)) \quad \text{and}\quad G(u,\nabla u,x,t)|_{\partial \Omega} = 0$$ tiene la propiedad de que $$\int_\Omega \frac {\partial}{\partial t} u(x,t) \,\mathrm d x = \int_\Omega \nabla \cdot F \,\mathrm d x = \int_{\partial\Omega} F \cdot \mathrm d S $$ para que la masa se conserva si, por ejemplo,$G=0 \implies F=0$.

Así que si $F=u^2 \nabla u$$G=u$, esta última integral es cero, como las condiciones de frontera implica $F$ se desvanece en el límite.