Un ejemplo de una función no $L^2$, pero tal que $\int_{E} f dm\leq \sqrt{m(E)}$ para cada conjunto $E$

Question

Estoy pensando en este problema:

Deje $f\in L^1 [0,1]$ a ser una función no negativa satisfecho:

$$\int_{E} f dm\leq \sqrt{m(E)}$$ for every measurable set $E\subconjunto [0,1]$, Prove that $f\en L^{p}[0,1]$ for $1\leq p<2$.

Ya he hecho esto. Pero quiero un contraejemplo para $p=2$. Cómo obtener uno?

Answer 1

En lugar de sólo dar un ejemplo, voy a mostrar una típica ruta de acceso a él.

1. $L^p$ normas son invariantes bajo el reordenamiento de la función: de manera informal, se puede mover sus valores en torno a, por ejemplo, ordenándolos en orden decreciente. Por lo tanto, no parecen demasiado restrictivas para centrarse en la disminución de las funciones.

2. Si $f$es decreciente, entonces $\int_{E} f\, dm\leq \int_{0}^{ m(E)} f\,dm$. Tan sólo necesitamos considerar intervalos iniciales $[0,a]$, en lugar del general de conjuntos medibles.

3. La condición que necesitamos es $\int_0^a f\,dm \le \sqrt{a}$ todos los $a\in [0,1]$. Parece que es más fácil para el estado en términos de antiderivada $F(x)=\int_0^x f\,dm$.

4. Por lo tanto, queremos $F(x)\le \sqrt{x}$ y, al mismo tiempo, hacer de $F$ a lo grande. Hmm... ¿qué $F(x)=\sqrt{x}$?

5. Volver a $f$, y su ejemplo.