¿Cuáles son algunas de las interesantes solas excepciones o contraejemplos?

Question

Muchos teoremas afirmar que una determinada propiedad se mantiene para todos los objetos de una clase, excepto aquellos en una lista de excepciones. Ejemplos de reglas que admitir precisamente una excepción incluyen:

• Todos los números primos son impares, excepto para $2$
• Todos los automorfismos de a $S_n$ interior para todos los $n$ con la excepción de $6$
• Todo muy simple Mentira álgebras de tener abelian exterior automorphism grupo, salvo $D_4$ ($\text{Out}(D_4) \cong S_3$, lo que conduce a la excepcional fenómeno de la trialidad)

¿Cuáles son algunos otros ejemplos interesantes de los resultados que admitir (esencialmente) una excepción?

Editar (modificado a partir de un comentario más abajo): Leer estrictamente a esta pregunta está subordinada a la de alguien sugirió duplicado, pero que pregunta (más o menos) acerca de las clasificaciones de objetos excepcionales de manera más general, y no específicamente sobre el caso de una única excepción. En parte debido a esto, muy pocas de las respuestas a esta pregunta son admisibles las respuestas a esta (y dos de ellos son en realidad ya dada en la pregunta aquí).

Answer 1

La suave estructura en $\mathbb{R}^n$ es único hasta diffeomorphism, excepto si $n = 4$.

Answer 2

Si el $n$th Fibonacci número es primo, a continuación, $n$ es primo, excepto que $F_n=3$ al $n=4$.

Answer 3

Una generalización del Teorema de los Cuatro Colores , dice que la cromática número de una superficie cerrada con la característica de Euler $\chi$ (el número de colores necesarios para colorear cualquier mapa en la superficie) está delimitado por encima (bruscamente) por $$\left\lfloor \frac{7 + \sqrt{49 - 24 \chi}}{2} \right\rfloor,$$ excepto para la botella de Klein, que tiene la Característica de Euler de cero, por lo que la fórmula anterior da un recuento de $7$ colores, pero que sólo requiere $6$. (Ver Ringel, G. y Youngs, J. W. T. Solución de la Heawood Mapa para Colorear Problema. Proc. Nat. Acad. Sci. Estados UNIDOS de los 60, 438-445, 1968.)

(Esto es tomado de esta respuesta a la pregunta JimmyK4542 referencias en los comentarios de arriba.)

Answer 4

El grupo de unidades de $\mathbb Z/p^n \mathbb Z$ es cíclica para cada potencia principal $p^n$, excepto cuando se $p=2$; es cíclico sólo para $n=1,2$.

Answer 5

Los duales de $L^p$ espacios: $$1\le p<\infty,\ \frac1p+\frac1q = 1\implies (L^p)^*=L^q,$$ pero $$(L^\infty)^*\ne L^1.$$