¿Integración de arctan(x) es en sí mismo?

Question

Lo siento si esto parece un inútil pregunta, pero me parece que no puede averiguar lo que está mal con el siguiente razonamiento, que nos lleva a lo que es, sin duda, una respuesta incorrecta.

así, $$ \int \arctan(x) dx = x \arctan(x) - \int \frac{x}{1+x^2}dx $$

Bastante estándar hasta el momento, entonces, en lugar de usar la sustitución de evaluar la segunda integral, he utilizado la integración por partes de nuevo:

$$ \int \frac{x}{1+x^2}dx=x \int \frac{1}{1+x^2}dx - \int \frac{1}{1+x^2}dx $$

Que debe ser cierto, pero debe ser cuando el problema es debido a esto conduce a

$$ x \arctan(x) - \arctan(x) $$

lo que implica

$$ \int \arctan(x) dx = \arctan(x) $$

Lo cual es claramente incorrecto como arctan tiende a un valor, mientras que las áreas bajo la curva no es, además de un montón de otras razones por las que esto es claramente un error.

Puede alguien ayudarme a encontrar donde me ha ido mal

Answer 1

Usted no puede tomar el $x$ de la primera integral del lado derecho porque $x$ es la variable de integración y no es una constante. ¿Tienes que manejar diferentemente como esta: que $u = 1+x^2$, y puede seguir hasta el final?

Answer 2

Sólo así se puede contestar esta pregunta:

Que originalmente hizo la integración por las piezas incorrectamente:

$u=x,\ \ \ \ \ dv=\frac{1}{1+x^2}dx$

$du=dx,\ \ \ \ \ v=\int\frac{1}{1+x^2}dx$

$$\int\frac{x}{1+x^2}dx=x\int\frac{1}{1+x^2}dx-\int\left(\int\frac{1}{1+x^2}dx \right)dx$$

Answer 3

Hemos

Answer 4

Me di cuenta del problema bastante mucho en cuanto postee esto, la segunda integral es un integral doble, es decir

\int \frac{x}{1+x^2}dx=x \int \frac{1}{1+x^2}dx $ - \int \int \frac{1}{1+x^2}dx^2 $$

Que conduce a

$$ \int \arctan(x) dx = x \arctan(x) - x \arctan(x) - \int \arctan(x) dx $$