$\frac{\sqrt{1+\sqrt{x}}+\sqrt{1+\sqrt{1-x}}}{\sqrt{1-\sqrt{x}}+\sqrt{1-\sqrt{1-x}}}$

Question

Encontrar el valor de $\frac{\sqrt{1+\sqrt{x}}+\sqrt{1+\sqrt{1-x}}}{\sqrt{1-\sqrt{x}}+\sqrt{1-\sqrt{1-x}}}$, $x\in \left(0,\frac{1}{2}\right)$. ¿Sé que es igual a $\sqrt{2}+1$, pero no sé cómo comprobarlo?

Answer 1

$x$ se pueden fijar a $\sin^22\theta$ $0<x<\frac 12\implies 0<\sin2\theta<\frac1{\sqrt 2}$

$\implies 0< 2\theta< \frac\pi4$

$1+\sqrt x=1+\sin2\theta=(\cos\theta+\sin\theta)^2\implies \sqrt{1+\sqrt x}=\cos\theta+\sin\theta$

$1-\sqrt x=1-\sin2\theta=(\cos\theta-\sin\theta)^2\implies \sqrt{1+\sqrt x}=\cos\theta-\sin\theta$ as $\cos\theta>\sin\theta>0$ as $0< \theta< \frac\pi8$

$1-x=\cos^2\theta, \sqrt{1-x}=\cos2\theta,$

$\cos2\theta=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta$

$1+\sqrt{1-x}=1+\cos2\theta=2\cos^2\theta, 1-\sqrt{1-x}=1-\cos2\theta=2\sin^2\theta$

$$\text{ Then, }\frac{\sqrt{1+\sqrt x}+\sqrt{1+\sqrt{1-x}}}{\sqrt{1-\sqrt x}+\sqrt{1-\sqrt{1-x}}}$$

$$=\frac{\cos\theta+\sin\theta+\sqrt2\cos\theta }{\cos\theta-\sin\theta+\sqrt2\sin\theta}$$

$$=\frac{(\sqrt2+1)\cos\theta+\sin\theta }{\cos\theta+(\sqrt2-1)\sin\theta}$$

$$=(\sqrt2+1)\cdot\frac{(\sqrt2+1)\cos\theta+\sin\theta }{(\sqrt2+1)\cos\theta+(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)\sin\theta}$$

$$=(\sqrt2+1)$$ as $(\sqrt2+1)\cos\theta+\sin\theta\ne 0$ as $\cos\theta>\sin\theta>0$ as $0< \theta< \frac\pi8$

Answer 2

Sugerencia: no estoy seguro de lo que exactamente necesita, pero -un buen lugar para empezar con ese tipo de expresiones es utilizar el siguiente $$(a+b)(a-b)=a^2-b^2 \Rightarrow a+b=(a+b)\frac{a-b}{a-b}=\frac{a^2-b^2}{a-b}$$ enchufe $a=\sqrt{1+\sqrt{x}}$ y $b=\sqrt{1+\sqrt{1-x}}$, que se simplifica el numerador un poco. Entonces usted puede repetir este proceso.

Answer 3

a$\sqrt{1-\sqrt{x}}=a$

$\sqrt{1+\sqrt{x}}=b$

$ab=\sqrt{1-x}$

Ahora la expresión se verá algo como:

\frac{b+\sqrt{1+ab}}{a $ + \sqrt{1-ab}}$

Answer 4

Deje $a=\sqrt{1-\sqrt{x}}, b=\sqrt{1+\sqrt{x}}$, e $b>a>0$ todos los $x\in\left(0,\frac{1}{2}\right)$. Uno podría tener que $ab=\sqrt{1-x}$, $b^2-a^2=2\sqrt{x}$, $1-a^2b^2=\sqrt{x}$, y $b^2+a^2=2$. Entonces, uno podría obtener: $b+a=\sqrt{2}\cdot\sqrt{1+ab}$$b-a=\sqrt{2}\sqrt{1-ab}$. Ahora, cuando uno iba a demostrar que el valor de la función de arriba es igual a $\sqrt{2}+1$ todos los $x\in\left(0,\frac{1}{2}\right)$. Dado $y=f(x)=\frac{\sqrt{1+\sqrt{x}}+\sqrt{1+\sqrt{1-x}}}{\sqrt{1-\sqrt{x}}+\sqrt{1-\sqrt{1-x}}}=\frac{b+\sqrt{1+ab}}{a+\sqrt{1-ab}}\equiv \sqrt{2}+1$. Así, no sólo se requiere para demostrar que $y^2-2y-1=0$. La prueba es el mismo que para demostrar que $\left(\frac{b+\sqrt{1+ab}}{a+\sqrt{1-ab}}\right)^2-2\left(\frac{b+\sqrt{1+ab}}{a+\sqrt{1-ab}}\right)-\left(\frac{a+\sqrt{1-ab}}{a+\sqrt{1-ab}}\right)$ deberá ser igual a cero para todos los $x\in\left(0,\frac{1}{2}\right)$. En el caso de un no-trivial solución existido en la parte del denominador no será igual a cero, y el numerador será de cero. Después de la expansión, recibí la parte del numerador de la siguiente manera: $(b+\sqrt{1+ab})^2-2(b+\sqrt{1+ab})(a+\sqrt{1-ab})-(a+\sqrt{1-ab})^2=b^2-a^2+2ab-2ab+2(b-a)\sqrt{1+ab}-2(b+a)\sqrt{1-ab}-2\sqrt{1-a^2b^2}\equiv 2\sqrt{x}+2\sqrt{2}\sqrt{1-ab}\sqrt{1+ab}-2\sqrt{2}\sqrt{1+ab}\sqrt{1-ab}-2\sqrt{1-a^2b^2}=2\sqrt{x}+2\sqrt{2}\sqrt{1-a^2b^2}-2\sqrt{2}\sqrt{1-a^2b^2}-2\sqrt{x}=0$. Así, la prueba estaba hecho, y nos muestran que $y=f(x)=\frac{\sqrt{1+\sqrt{x}}+\sqrt{1+\sqrt{1-x}}}{\sqrt{1-\sqrt{x}}+\sqrt{1-\sqrt{1-x}}}\equiv\sqrt{2}+1$, $\forall x\in\left(0,\frac{1}{2}\right)$.