Pasar de un sistema fundamental de vecindades una topología y viceversa

Question

Dado un espacio topológico $(X,\tau)$ y un punto de $x\in X$ podemos definir un sistema fundamental de vecindades de $x$ (o tal vez un barrio de la base de a $x$), decir $\mathscr{N}(x)\subseteq2^X$, por cada vecindario $U$ $x$ contiene un elemento de $\mathscr{N}(x)$ y los elementos de $\mathscr{N}(x)$ son en sí mismos barrios de $x$ (Me estoy tomando un barrio de $x$ a ser un conjunto que contiene un conjunto abierto que contiene a $x$). Por ejemplo, $\{(-1/n,1/n)\}_{n\in\mathbb{N}}$ $\{[-1/n,1/n]\}_{n\in\mathbb{N}}$ son tanto los sistemas fundamentales de los barrios de $0\in\mathbb{R}$ con el estándar de la topología.

Así, podemos ir desde un espacio topológico a un sistema fundamental de vecindades en un punto. He visto que esta dirigida en ciertas situaciones antes, pero ¿cómo se puede pasar de un sistema fundamental de vecindades en cada punto a una topología? A mí me parece que tendría finito intersecciones arbitrarias y los sindicatos de los diversos sistemas fundamentales de los barrios. Pero, a continuación, $\{[x-1/n,x+1/n]\}_{n\in\mathbb{N},x\in\mathbb{Q}}$ no generar el estándar de la topología en $\mathbb{R}$.

En definitiva, ¿cómo se puede pasar de no topología y sólo un montón de conjuntos (que usted desea llamar a un montón de sistema fundamental de vecindades) en una topología? ¿Usted acaba de tomar finito intersecciones arbitrarias y los sindicatos de tus sets?

Answer 1

Para cada uno de los $x \in X$ un conjunto no vacío $U_x \subseteq \mathcal{P}(X)$ que satisface
(1) $x \in \bigcap U_x$
(2) $V \in U_x, V \subseteq W \Longrightarrow W \in U_x$
(3) $V,W \in U_x \Longrightarrow V \cap W \in U_x$
(4) $\forall V \in U_x \,\exists W \in U_x: \forall y \in W: V \in U_y$
entonces no es exactamente una topología sobre X s.t. para todos $x \in X$: $U_x$ es el conjunto de los barrios de $x$. Un subconjunto $O \subseteq X$ está abierto, el fib es un barrio de cada uno de sus elementos - es decir,$\forall x \in O: O \in U_x$.

Ambos sistemas fundamentales de los barrios, que se mencionó anteriormente, son filtros bases para el mismo $U_x$ que se obtiene mediante la suma de todas las superseries con el fin de satisfacer la condición (2).

Answer 2

Su barrio de la base de $\mathcal V_x$ tiene que ser no vacío y satisfacer tres propiedades:

(1) Cada una de las $V\in\mathcal V_x$ tiene que contener la $x$.
(2) Si $V_1,V_2\in\mathcal V_x$ entonces no es $V_3\in\mathcal V_x:V_3\subseteq V_1\cap V_2$.
(3) Para cada una de las $V\in\mathcal V_x$ no es un porcentaje ($W\in\mathcal V_x$ tal que para cada una de las $y\in W$ existe un $Y\in\mathcal V_y:Y\subseteq V$.

A continuación, puede definir $\mathcal U_x:=\{U\subseteq X\mid\exists V\in\mathcal V_x,V\subseteq U\}$ que satisface (1) - (4) en la Duna de respuesta. Usted puede entonces proceder a definir una topología tal que $\mathcal U_x$ es el barrio de filtro en $x$.

El $\left\{\left[x-\frac1n,\ x+\frac1n\right]\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ barrio de la base provocaría el mismo barrio de filtro como $\left\{\left(x-\frac1n,\ x+\frac1n\right)\right\}_{n\in\mathbb{N}}$, ya que el $\left[x-\frac1n,\ x+\frac1n\right]$ contiene $\left(x-\frac1n,\ x+\frac1n\right)$, e $\left(x-\frac1n,\ x+\frac1n\right)$ contiene $\left[x-\frac1{2n},\ x+\frac1{2n}\right]$.