¿Es la diferenciación en el plano complejo la misma que en los reales? En particular ¿las diferenciación normal se aplican normas en el caso complejo tal que sólo puedo tratar a un complejo mapa como un mapa real?
Gracias.
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Julián Aguirre
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La respuesta es sí, si por "la diferenciación normal de las reglas" que la media de la suma, producto, cociente y regla de la cadena. Sin embargo, hay diferencias muy importantes. Algunos ejemplos:
- Si una función $f\colon D^{\text{open}}\subset\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ es diferenciable en el sentido complejo, entonces es infinitamente diferenciable, incluso analítica. Esto está lejos de la verdad para las funciones de $f\colon(a,b)\to\mathbb{R}$, que puede ser diferenciable con discontinuo derivados.
- Si una función $f\colon D^{\text{open}}\subset\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ es diferenciable en el sentido complejo y se desvanece en un conjunto con un punto límite en $D$,$f\equiv0$. De nuevo, esto no sucede con funciones diferenciables de una variable: vamos a $f(x)=e^{-1/x}$ si $x>0$, $f(x)=0$ si $x\le0$.
- Si $f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ es diferenciable en el sentido complejo y limitado, a continuación, $f$ es constante. De nuevo, esto no para los verdaderos valores de funciones de una variable real: considere por ejemplo $f(x)=\sin x$.
Florian
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Aquí es una "regla" que no: si $f$ es diferenciable, entonces es diferenciable, $\overline f$ y $\overline{f'}=(\overline f) '$.
Esta regla es verdadera si la variable es real (para funciones valoradas complejas). También es cierto si el plano complejo es tratado como $\mathbb{R}^2$ y diferenciación diferenciación real en $\mathbb{R}^2$. Lo que podríamos decir que el fracaso de esta regla es lo que distingue el análisis complejo de análisis real.
Daniel Plaisted
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Estoy un poco confundido acerca de su pregunta, pero se me ocurren dos posibles interpretaciones y voy a tratar de manejar ambos.
La primera interpretación: si $f(z)$ es una compleja función derivable y tenemos una fórmula para $f'(x)$ donde $x$ es una variable real, se puede recuperar el complejo derivado de la $f$ por "enchufar $z$ a que la leche de fórmula? La respuesta es calificado de "sí". La mejor declaración precisa a lo largo de estas líneas es que si $f$ es complejo diferenciable en a $z_0$ admite un desarrollo en serie de Taylor aproximación $f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ en un barrio de $z_0$ que converge uniformemente en compactos de conjuntos. Convergencia uniforme nos permite diferenciar término por término, y por lo tanto una fórmula para la derivada está dada por $f'(z) = \sum_{n=1}^\infty n a_n z^{n-1}$. Así que si su fórmula para el cálculo de la real derivado de la $f$ puede ser expresada en términos del desarrollo en serie de Taylor, a continuación, va a estar bien simplemente "plug in" $z$.
Tenga en cuenta que usted tiene que asumir desde el principio que $f$ es complejo diferenciables: aunque se puede calcular la derivada de $e^{-1/x}$ cerca de $x=0$ usando series de Taylor, no se extienden a una compleja función derivable. También tenga en cuenta que en la práctica se calcula el real derivados del uso de cosas como el producto de la regla y de la regla de la cadena, y las mismas herramientas de trabajo en el caso complejo. Así que a menudo se puede calcular la derivada de una compleja función derivable sin recurrir a la serie de Taylor con la misma técnica que se utiliza en el caso real.
Segunda interpretación: Si $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ es complejo diferenciable, es cierto que su derivada está de acuerdo con el real derivado de la $f$ considerado como una función de $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$? Aquí la respuesta es más sencilla "sí", y se sigue de las intrínseca de la definición de la derivada como la mejor aproximación lineal de $f$ cerca de un punto (que se aplica tanto a los reales y complejas funciones diferenciables). De nuevo, debemos asumir desde el principio que $f$ es complejo diferenciable para que esto sea correcto: por la de Cauchy-Riemann ecuaciones real de una función derivable en a $(x_0,y_0)$ corresponde a una compleja función derivable si y sólo si el derivado de conformación, es decir,
$$df(x_0,y_0) = \left(\begin{array}{cc} a & b \\ -b & a \end{array}\right)$$
