Encontrar el resto cuando se divide $10^{10}+10^{10^2}+.........+10^{10^{10}}$ $7$.

Question

He encontrado un nuevo problema que pide:

Encontrar el resto cuando se divide $10^{10}+10^{10^2}+.........+10^{10^{10}}$ $7$.

Estoy pensando en encontrar el resto usando Teorema de Fermet, pero creo que soy incapaz de hacerlo.

Por favor ayuda.

Answer 1

Estás en lo correcto. Usted debe utilizar de Fermat Poco Teorema para resolver este problema. Fermat Poco Teorema nos dice $10^6 \equiv 1 \pmod{7}$, lo que significa que podemos restar $6$ a partir de cada uno de los poderes, sin que afecte al resto. Esto significa que sólo podemos encontrar el resto de los poderes cuando se divide por $6$ y, a continuación, utilizar esos poderes. $$10 \equiv 4 \pmod 6$$ $$10^2 \equiv 4^2 \equiv 16 \equiv 4 \pmod 6$$ $$10^3 \equiv 4^3 \equiv 64 \equiv 4 \pmod 6$$ Esperemos que ver el patrón. Todos los poderes son equivalentes a $4 \pmod 6$. Por lo tanto, podemos reemplazar cada una de las $10^{10^a}$$10^4$, que nos da una suma de $10\cdot 10^4=10^5$. Ahora, tenemos que calcular el $10^5 \pmod 7$: $$10^5 \equiv 3^5 \equiv 243 \equiv 5 \pmod 7$$

Answer 2

Observe que $\gcd(10,7)=1$.

Por lo tanto, por Teorema de Euler: $10^{\phi(7)}\equiv1\pmod7$.

Ya que $7$ es primer: $\phi(7)=7-1=6$.

Por lo tanto: $10^6\equiv1\pmod7$.

Por lo tanto:

• $10^{10^{1}}\equiv10^{6\cdot1+4}\equiv(\color\red{10^{6}})^{1}\cdot10^{4}\equiv\color\red1^{1}\cdot10^{4}\equiv10000\equiv4\pmod7$
• $10^{10^{2}}\equiv10^{6\cdot16+4}\equiv(\color\red{10^{6}})^{16}\cdot10^{4}\equiv\color\red1^{16}\cdot10^{4}\equiv10000\equiv4\pmod7$
• $10^{10^{3}}\equiv10^{6\cdot166+4}\equiv(\color\red{10^{6}})^{166}\cdot10^{4}\equiv\color\red1^{166}\cdot10^{4}\equiv10000\equiv4\pmod7$
• $\dots$

Fácilmente podemos demostrar por inducción que $\forall{n\in\mathbb{N}}:10^{10^{n}}\equiv4\pmod7$.

Por lo tanto: $\sum\limits_{n=1}^{10}10^{10^{n}}\equiv\sum\limits_{n=1}^{10}4\equiv40\equiv5\pmod7$.

Answer 3

Sí, se puede utilizar Teorema de Fermat aquí.

Por el teorema de Fermat, $10^6\equiv 1 \pmod 7$.

Por lo tanto, $10^{6m}\equiv 1 \pmod 7$ % todos $m$.

Ahora, $$10\equiv 4 \pmod 6, 10^2\equiv 40 \equiv 4 \pmod 6$ $

Por inducción, $10^n \equiv 4 \pmod 6$ % todo $n$

Así, $10^n=6m+4$

y $$10^{10n}=10^{6m}\times10^4\equiv 10^4 \pmod 7 \equiv 4 \pmod 7$ $

En consecuencia,

$$10^{10}+10^{10^2}+..........+10^{10^{10}} \equiv 4 \times 10 \pmod 7\equiv 5 \pmod 7$$

Así, el resto es $5$.

Answer 4

% Toque $\ \ \color{#0a0}{a^{\large 9}\equiv\bf 1}\,\Rightarrow\,a^{\large 10^{\Large N}}\!\!\equiv a\ \ $por $\ \ \overbrace{a^{\large\color{#c00}{10^{\Large N}}} \equiv un ^ {\large \color{#c00}{1+9K}}} ^ {\ \ \ \large \color{#c00}{10^{\large N}} \, \equiv\, \color{#c00}{1} \pmod{\!\color{#c00} 9}} \!\equiv a(\color{#0a0}{a^{\large 9}}) ^ \!\equiv {\large K} una (\color{#0a0}{\bf 1}) ^ {\large K} \!\equiv a$