Aproximación de mapeos acotados y continuos

Question

¿Alguien sabe si podemos aproximar una aplicación acotada (es decir, conjuntos acotados en V se mapean a conjuntos acotados en V': para cada subconjunto acotado $U\subseteq V$ y $x\in U$, existe $K_U>0$ tal que $\|f(x)\|_{V'}\leq K_U$, o, en particular, para un $r>0$ y $\|x\|_V\leq r$, $\|f(x)\|_{V'}\leq K_r$) y continua $f\colon V\rightarrow V'$, donde $V,V'$ son espacios de Hilbert reales, mediante una secuencia de aplicaciones de Lipschitz de tal manera que la secuencia converge uniformemente a $f$ en conjuntos compactos?

Muchas gracias por cualquier ayuda.

Posible respuesta débil:

Lo siguiente es mi intento de responder la pregunta. Bueno, solo obtuve una secuencia Lipschitz en conjuntos acotados y cerrados en lugar de globalmente Lipschitz. Se apreciaría si alguien puede verificar mi argumento y si alguien también puede señalarme hacia la secuencia globalmente Lipschitz.

Entonces, construiremos una secuencia $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ tal que cada $f_n$ sea Lipschitz en conjuntos acotados y cerrados, y tal que $\underset{n\rightarrow\infty}{\lim} f_n=f$ uniformemente en conjuntos compactos. Para cualquier $n$, tomemos la función de soporte usual $\rho_n\colon\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ tal que

soporte$(\rho_n)=${$\xi\in\mathbb{R}^n\colon\|\xi\|\leq\frac{1}{n}$}, y $\int_{\mathbb{R}^n}\rho_n(\xi)d\xi=1$.

Tomemos una base ortonormal de $V$, $(e_k)_{k\in\mathbb{N}}$, y definamos el operador $Q_n\colon V\rightarrow \mathbb{R}^n$ a través de

$Q_n x:=(,\ldots,)$

para cada $x\in V$. Luego, definimos $f_n$ a través de

$f_n(x):=\int_{\mathbb{R}^n}\rho_n(\xi-Q_n x)f(\sum_{k=1}^n\xi_k e_k)d\xi$.

Primero mostraremos que $f_n$ es Lipschitz. Denotemos por $B(x_0,r)$ la bola cerrada en $\mathbb{R}^n$ con centro $x_0$ y radio $r$. También, por brevedad, denotemos $B^n_{x_0}$ como una bola cerrada de centro $x_0$ con radio $\frac{1}{n}$ en $\mathbb{R}^n$. Bueno, ya que una función de soporte es suave y tiene soporte compacto, es globalmente Lipschitz (con constante de Lipschitz $\text{Lip}(\rho_n)$) (gracias a Igor Rivin y copper.hat por señalar esto en otro mensaje), y, por lo tanto, para cualquier $\|x\|_V,\|y\|_V\leq r$ tenemos

\begin{eqnarray} \|f_n(x)-f_n(y)\|_{V'}&&=\|\int_{B^n_x\cup B^n_y}(\rho_n(\xi-Q_n x)-\rho_n(\xi-Q_n y))f(\sum_{k=1}^n\xi_k e_k)d\xi\|_{V'}\\ &&\leq \text{Lip}(\rho_n)\|Q_n(x-y)\|_{\mathbb{R}^n}\,.\,K_{r+\frac{1}{n}} \,.\,2\text{Volume}(B(0,\frac{1}{n}))\\ &&\leq \text{Lip}(\rho_n)\,.\,K_{r+\frac{1}{n}} \,.\,2\text{Volume}(B(0,\frac{1}{n}))\,.\,\|x-y\|_V \end{eqnarray}

donde la última desigualdad se sigue de Parseval y donde $K_{r+\frac{1}{n}}$ es la cota (vea la descripción de acotamiento arriba) que proviene del acotamiento de $f$.

Ahora mostraremos la convergencia uniforme. Para cualquier conjunto compacto $U$ y cualquier $x\in U$, tenemos

\begin{eqnarray} \|f(x)-f_n(x)\|_{V'}&&=\|\int_{B^n_x}\rho_n(\xi-Q_n x)(f(x)-f(\sum_{k=1}^n\xi_k e_k))d\xi\|_{V'}\\ &&=\|\int_{B^n_0}\rho_n(\xi)(f(x)-f(\sum_{k=1}^n(+\xi_k) e_k))d\xi\|_{V'}\\ &&\leq \int_{B^n_0}\rho_n(\xi)\|f(x)-f(\sum_{k=1}^n(+\xi_k) e_k)\|_{V'}d\xi, \end{eqnarray}

Usando la compacidad del conjunto (verifique si el siguiente conjunto es realmente compacto)

$G:=U\cup(\bigcup_{n=1}^\infty\left\lbrace \sum_{k=1}^n(+\xi_k) e_k\colon x\in U\text{ y }\sum_{k=1}^n\xi_k^2\leq\frac{1}{n^2}\right\rbrace)$

y el hecho de que $f$ es uniformemente continua sobre $G$, podemos entonces inferir que

\begin{eqnarray} \underset{x\in U}{\sup}\|f(x)-f_n(x)\|_{V'}&&\leq \underset{\substack{\|x-y\|_V\leq\delta_n\\x,y\in G}}{\sup}\|f(x)-f(y)\|_{V'}\rightarrow 0 \end{eqnarray}

donde $\delta_n$ disminuye a $0$, y de hecho podemos tomar $\delta_n$ como (por favor verifique)

\begin{eqnarray} \delta_n:=\underset{x\in U}{\sup}\|x-\sum_{k=1}^ne_k\|_V+\frac{1}{n}, \end{eqnarray}

lo cual es realmente finito para cada $n$, ya que $U$ es compacto y por lo tanto acotado.

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Sobre la compacidad de $G$: Solo necesitamos mostrar la compacidad de

$G':=\cup_{n\in\mathbb{N}}G'_n$, $G'_n:=\left\lbrace \sum_{k=1}^n(+\xi_k) e_k\colon x\in U,\quad\xi:=(\xi_1,\ldots,\xi_n)\in B^n_0\right\rbrace$

Primero, note que para cualquier $n$, $G'_n$ es compacto ya que tanto $U$ como $B^n_0$ son compactos. Ahora tome cualquier secuencia $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq G'$. Entonces, cualquier $u_n$ es de la forma

$u_n=\sum_{k=1}^{l_n}(+\xi^{(n)}_k) e_k$, $x_n\in U$, $\sum_{k=1}^{l_n}(\xi^{(n)}_k)^2\leq\frac{1}{{l_n}^2}$

Primero que todo, si $\sup_n l_n<\infty$, entonces $(u_n)\subseteq \cup_{n=1}^{\sup_n l_n}G'_n$, y por lo tanto es compacto ya que $\cup_{n=1}^{\sup_n l_n}G'_n$ es una unión finita de conjuntos compactos.

Entonces, asumamos que $\lim\sup_n l_n=\infty$. Dado que $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq U$, seleccionemos una subsecuencia que converja. Supongamos que hemos renombrado $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq G'$ para ser la subsecuencia correspondiente. Entonces, solo necesitamos mostrar que es de Cauchy. Para cada $m,n\in\mathbb{N}$, tenemos (suponga, sin pérdida de generalidad, $l_m

\begin{eqnarray} \|u_n-u_m\|_{V}&&=\sqrt{\sum_{k=1}^{l_m}(+(\xi^{(n)}_k-\xi^{(m)}_k))^2+\sum_{k=l_m+1}^{l_n}(+\xi^{(n)}_k)^2}\\ &&\leq\|x_n-x_m\|_V+\sqrt{\sum_{k=l_m+1}^{l_n}^2}+\frac{1}{l_n}+\frac{1}{l_m}\\ \end{eqnarray}

y el resto es obvio tomando $\lim\sup$ en ambos lados a medida que $m,n\rightarrow\infty.

Answer 1

Así parece.

Proposición. Sea $V$ un espacio de Hilbert real separable, $V’$ un espacio normado y $f:V\to V’$ una aplicación continua. Entonces existe una secuencia $\{f_n\}$ de aplicaciones de Lipschitz acotadas de $V$ a $V’$ que convergen uniformemente a $f$ en conjuntos compactos.

Prueba. Basta con considerar el caso $V=\ell_2$. Sea $n$ un número natural. Vamos a considerar el espacio $\mathbb R^n$ como incluido de manera natural en $\ell_2$ y establecer $\mathbb Z/n=\{x\in\mathbb R: nx\in\mathbb Z\}$. Primero definimos una aplicación $g_n^*:(\mathbb Z/n)^n\to V’$ poniendo $g_n^*(x)=f(x)$ si $\|f(x)\|\le n$ y $g_n^*(x)=nf(x)/\|f(x)\|$, si $\|f(x)\|\ge n$. Luego extendemos afínmente la aplicación $g_n^*$ a una aplicación $f_n^*:\mathbb R^n\to V’$ de la siguiente manera. Primero definimos una aplicación $\lfloor\cdot\rfloor_n:\mathbb R\to \mathbb Z/n$ poniendo $\lfloor x\rfloor_n=\lfloor nx\rfloor/n$ para cada $x\in\mathbb R$. Sea $x=(x_i)\in\mathbb R^n$. Entonces el punto $x$ está contenido en un cubo $C_x=\prod_{i=1}^n [\lfloor x_i \rfloor_n; \lfloor x_i \rfloor_n+1/n]$. Ponemos $f_n^*(x)=\sum\{\lambda(d,x)g_n^*(d): d=(d_i)$ es un vértice del cubo $C_x\}$, donde $\lambda(d,x)=\prod_{i=1}^n \mu_i(d_i,x_i)$, donde $\mu_i(d_i,x_i)=n(x_i-\lfloor x_i \rfloor_n)$ si $d_i=\lfloor x_i \rfloor_n+1/n$ y $\mu_i(d_i,x_i)=1-n(x_i-\lfloor x_i \rfloor_n)$ si $d_i=\lfloor x_i \rfloor_n$. Observamos que $f_n^*(x)\in\operatorname{conv}\{g_n^*(d): d$ es un vértice del cubo $C_x\}$ por la construcción. Afirmamos que la aplicación $f_n^*$ es Lipschitz. De hecho, sean $x,y\in\mathbb R^n$. Dado que el segmento $[x,y]$ está contenido en una unión finita de los cubos $C_z$ donde $z\in \mathbb R^n$, basta considerar el caso cuando $C_x=C_y$. En este caso $\lfloor x_i \rfloor_n=\lfloor y_i \rfloor_n$ para cada $1\le i\le n. Entonces

$$\left\| f_n^*(x)- f_n^*(y)\right\|=\left\| \sum\{\lambda(d,x)g_n^*(d)- \lambda(d,y)g_n^*(d): d=(d_i)\mbox{ es un vértice del cubo }C_x\}\right\|\le \sum_d |\lambda(d,x)–\lambda(d,y)|\|g_n^*(d)\| \le \sum_d\left|\prod_{i=1}^n \mu_i(d_i,x_i)– \prod_{i=1}^n \mu_i(d_i,y_i)\right|n\le^* \sum_d\sum_i n|x_i-y_i|n\le 2^nn^3\|x-y\|.$$

Para demostrar la desigualdad marcada con (*) señalamos que $0\le\mu_i(d_i,x_i), \mu_i(d_i,y_i)\le 1$ y $|\mu_i(d_i,x_i)- \mu_i(d_i,y_i)|=n|x_i-y_i|$ para cada $i$. Pero si $0\le a_i, b_i\le 1$ entonces $|a_1a_2\dots a_n- b_1b_2\dots b_n|=|a_1a_2\dots a_{n-1}a_n- a_1a_2\dots a_{n-1}b_n+ a_1a_2\dots a_{n-1}b_n- a_1a_2\dots b_{n-1}b_n+\dots+ a_1b_2\dots b_{n-1}b_n- b_1b_2\dots b_{n-1}b_n |\le |a_1a_2\dots a_{n-1}a_n- a_1a_2\dots a_{n-1}b_n|+|a_1a_2\dots a_{n-1}b_n- a_1a_2\dots b_{n-1}b_n|+\dots+|a_1b_2\dots b_{n-1}b_n- b_1b_2\dots b_{n-1}b_n|\le |a_n-b_n|+|a_{n-1}- b_{n-1}|+\dots+|a_1- b_1|$.

Finalmente, ponemos $f_n=f^*_np_n$, donde $p_n:\ell_2\to\mathbb R^n$ es la proyección ortogonal. Dado que la aplicación $p_n$ es Lipschitz, la aplicación $f_n$ también es Lipschitz.

Vamos a demostrar que una secuencia $\{f_n\}$ converge uniformemente a $f$ en conjuntos compactos.

Sea $K\subset\ell_2$ un conjunto compacto y $\varepsilon>0$ un número real arbitrario. Cada punto $x\in K$ tiene un vecindario abierto $Ox$ tal que $\|f(x)-f(y)\|<\varepsilon$ para cada punto $y\in Ox$. Observamos que la función $f$ está acotada en el conjunto $\bigcup\{Ox:x\in K\}$. Por lo tanto existe un número $N_1$ tal que $\|f(y)\|\le n$ para cada número $n>N_1$ y cada punto $y\in\bigcup\{Ox:x\in K\}$.

Afirmamos que existe un número $\delta>0$ tal que para cada punto $y\in K$ existe un punto $x\in K$ tal que $z\in Ox$ siempre que $z\in\ell_2$ y $\|z-y\|<\delta$. En efecto, para cada $x\in K$ se toma un $\delta_x>0$ tal que la bola abierta $B(x,2\delta_x)$ está contenida en $Ox$. La cubierta abierta $\{B(x,\delta_x):x\in K\}$ tiene un subconjunto finito, es decir, existe un conjunto finito $F\subset K$ tal que $K\subset\bigcup \{B(x,\delta_x):x\in F\}$. Se puede ver fácilmente que el número $\delta=\min\{\delta_x:x\in F \}$ tiene la propiedad requerida.

Para cada punto $x\in K$ ponemos $h_n(x)=\|x-p_n(x)\|$. Dado que $x\in\ell_2$, vemos que $p_{n+1}(x)\le p_n(x)$ para cada $n$ y la secuencia $h_n(x)$ converge puntualmente a cero para cada punto $x\in K$. Luego el Teorema de Dini (ver, por ejemplo, [L. 3.2.18, Eng]) implica que la secuencia $h_n(x)$ converge uniformemente a cero. Por lo tanto existe un número $N_2$ tal que $\|x-p_n(x)\|<\delta/2$ para cada número $n>N_2$ y cada punto $x\in K.

Elegimos un número $N_3\ge \max\{N_1,N_2\}$ tal que $1/\sqrt{N_3}<\delta/2$. Ahora sea $x\in K$ un punto arbitrario y $n>N_3$ un número arbitrario. Dado que $\|x-p_n(x)\|<\delta/2$ y $1/\sqrt{N_3}<\delta/2$ entonces el cubo $C_{p_n(x)}\subset\mathbb R^n$ está contenido en la bola $B(x,\delta)$. Por lo tanto $\operatorname{diam} f(C_{p_n(x)})<2\varepsilon$ y $\operatorname{diam}\operatorname{conv} f(C_{p_n(x)})<2\varepsilon$. Dado que $N_3\ge N_1$, $g_n^*(d)=f(d)$ para cada vértice $d$ del cubo $C_{p_n(x)}\}$. Dado que $f_n^*(p_n(x))\in\operatorname{conv}\{g_n^*(d): d$ es un vértice del cubo $C_{p_n(x)}\}$, vemos que $\|f_n^*(p_n(x))-f(p_n(x))\|<2\varepsilon$. Entonces

$$\|f(x)-f_n(x)\|= \|f(x)-f(p_n(x))+ f(p_n(x))- f_n(p_n(x))+ f_n(p_n(x))-f_n(x)\|\le \|f(x)-f(p_n(x))\|+ \|f(p_n(x))- f_n(p_n(x)) \|+ \|f_n(p_n(x))-f_n(x)\|<2\varepsilon+2\varepsilon+0.\square$$

Observación. Lamentablemente, una extensión de esta construcción falla para un espacio de Hilbert no separable $V$, porque en este caso no hay una secuencia de espacios de dimensión finita con la unión densa en $V$. Si intentamos utilizar las retículas $V_n=\{x\in V:n(x,e)\in\mathcal Z$ para cada $e\in E\}$, donde $E$ es una base ortonormal del espacio $V$, entonces tendremos un problema con la extensión afín desde la retícula $V_n$ sobre $V$. Por ejemplo, incluso si $V=\ell_2$, $n=1$ y $x=(1/n)$ entonces los equivalentes de los valores de $\lambda(d,x)$ para $d\in {0;1}^{\mathbb N}\cap\ell_2$ son iguales a cero, porque $\lim_{k\to\infty}(1-1/k)=0$.

Referencias

[Eng] Ryszard Engelking, General Topology, 2da ed., Heldermann, Berlín, 1989.