Acceso directo para encontrar el número de términos racionales en $(a^{\frac{1}{p}}+b^{\frac{1}{q}})^n$

Question

Mi maestro me enseñó un acceso directo para encontrar el número de términos racionales en $\left(a^{\frac{1}{p}}+b^{\frac{1}{q}}\right)^n$.

Por ejemplo, encontrar el número de términos racionales en $\left(5^{\frac{1}{6}}+2^{\frac{1}{8}}\right)^{100}$.

Algoritmo:

1. Encontrar el MCM de a $(p,q)$. En el ejemplo anterior, su $24$.
2. Divida $n$ por la LCM obtenidos. Vamos cociente ser $Q$ y el resto se $R$.
3. Si $R=0$, el número de términos racionales es $Q+1$. Otra cosa que el $Q$.

En el ejemplo de arriba, $R\neq 0$. Por lo que el número de términos racionales es $4$.

Cómo podía derivarse de este acceso directo?

Answer 1

Desde el binomio de expansión de esta expresión es $$ \left(a^{1/p} + b^{1/q}\right)^n=\sum_{i=0}^{n}{{n}\, seleccione{i}}^{i/p}b^{(n-i)/q}, $$ el $i$-ésimo término es, sin duda racional (de hecho, un número entero) al $i\equiv 0$ (mod $p$) y $i\equiv n$ (mod $q$). Por el teorema del resto Chino, todas las soluciones para estas dos ecuaciones son iguales modulo ${\text{lcm}}(p, q)$; es decir, tenemos una solución cada ${\text{lcm}}(p, q)$ pasos. Por lo tanto, tenemos $Q$ o $Q+1$ soluciones (en la notación del problema) si la LCM no divide $n$, e $Q+1$ soluciones si la LCM divide $n$ (en cuyo caso $q$ divide $n$, así que las soluciones de inicio en $i=0$). Cuando la LCM no divide $n$, usted necesita para encontrar la primera solución para decidir si el resultado va a ser $Q$ o $Q+1$. Esta es la causa de las "excepciones" como $\left(2 + 3^{1/4}\right)^6$.

El conde, por otra parte, depende de que no había otros términos racionales. Creo que esto sólo se garantiza si $a$ $b$ son squarefree y coprime.