Deje $V$ real $n$-dimensional espacio vectorial, y $T:V\to V$ es lineal en el mapa de satisfacer la condición de $T^2(v)=-v$ todos los $v \in V$. A continuación,
- Mostrar que $n$ es un entero par.
- El uso de $T$ hacer $V$ en un complejo espacio vectorial tal que la multiplicación por números complejos se extiende la multiplicación por reales.
- Muestran que, con respecto a la compleja estructura de espacio vectorial en $V$ obtenido en 2, $T:V\to V $ es una compleja función lineal.
Este problema está molestando por un tiempo. Y tengo un par de preguntas al respecto. Yo no. 1 utilizando el concepto de un mínimo de polinomios. [Otra prueba interesante se puede encontrar aquí.] Pero los verdaderos problemas son a la pregunta no. 2 y 3. La declaración completa de Q. 2 se ve muy vago para mí. (Por ejemplo, yo tengo dudas de que, si declaro un verdadero espacio vectorial complejo uno, ¿cómo puede ser el mismo que el anterior?) La pregunta de seguimiento es igualmente dudoso declaración.
Yo estaría encantado si alguien se toma el tiempo para aclarar lo que estas dos declaraciones que realmente significa y exactamente lo que tengo que probar. Gracias.
[Fuente: Esta pregunta se puede encontrar aquí (Pregunta 25b).]
Respuestas
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Definir el complejo de la multiplicación escalar $ℂ×V→V$$(a+ib)v = av + b T(v)$. Demostrar que esto define un espacio vectorial. (El punto crucial es que la asociatividad de ley relativo a la multiplicación escalar.) Usted también necesita mostrar que esto realmente se extiende real de la multiplicación, es decir,$av$ = $(a+0i)v$ donde el lado izquierdo término se entiende como real multiplicación como antes. Como un grupo abelian, $V$ sigue siendo el mismo, sólo extendió su "escalar". A continuación, puede mostrar que $T((a+ib)v) = (a+ib)T(v)$, lo que significa que $T$ no es sólo $ℝ$-lineal, sino que también se $ℂ$-lineal.
El punto es, de hecho, para "reemplazar" ${\mathbb R}$${\mathbb C}$, pero que, en lugar de reemplazarlo, usted quiere perder nada en el negocio. En otras palabras, cuando se tiene el "punto" de las operaciones de
$$ f_1 : {\mathbb R} \times V \V \ \text{si }\ V \ \text{ es visto como un verdadero espacio vectorial} $$
$$ f_2 : {\mathbb C} \times V \V \ \text{si } V \text{ es visto como un complejo espacio vectorial} $$
$f_1$ es la inicial de los datos del problema, no se puede cambiar.
Para $f_2$, se puede elegir lo que te gusta a priori, pero es más interesante si $f_2$ extends $f_1$ ($f_1(r,v)=f_2(r,v)$ siempre que los dos términos tienen sentido). Esto es lo que K. Stm de la respuesta.
