Nota: Esta situación merece algunas consideraciones adicionales que poner el problema en una luz diferente.
El siguiente es de capítulo III: las Fluctuaciones en la Moneda que se mueva y el paseo Aleatorio de la clásica Introducción a la Teoría de la Probabilidad y Sus Aplicaciones, Vol. Yo por W. Feller.
(W. Feller): Por ejemplo, en varias aplicaciones se asume que las observaciones de un individuo de la moneda-lanzando juego durante un largo intervalo de tiempo producirán las mismas características estadísticas como la observación de los resultados de un gran número de juegos independientes en un instante dado. Esto no es así.
Él continúa con
De acuerdo a las creencias generalizadas de una así llamada ley de los promedios deberá garantizar que, en un largo moneda al lanzamiento de juego de cada jugador va a estar en el lado ganador de la mitad del tiempo, y el plomo va a pasar en no pocas ocasiones de un jugador a otro.
Pero, en realidad, esta es la equivocada y contraria a la habitual creencia de que la siguiente se tiene:
Con una probabilidad de $\frac{1}{2}$ no ecualización se produjo en la segunda mitad del juego, independientemente de la duración del juego. Además, las probabilidades cerca del punto final son mayores.
El razonamiento se basa en el Arco seno de la ley para la última visita (ver, por ejemplo, Vol. 1, cap.3, sección 4, Teorema 1): La probabilidad de que, hasta e incluyendo la época de la $2n$ de la última visita a el origen se produce en la época de $2k$ está dado por
\begin{align*}
\alpha_{2k,2n}=\frac{1}{4^n}\binom{2k}{k}\binom{2n-2k}{n-k}
\end{align*}
Desde entonces, según la fórmula de Stirling
\begin{align*}
\binom{2k}{k}\sim \frac{1}{\sqrt{\pi k}}
\end{align*}
se puede demostrar que fija $0<x<1$ $n$ suficientemente grande
\begin{align*}
\sum_{k<xn}\alpha_{2k,2n}\approx \frac{2}{\pi}\arcsin \sqrt{x}
\end{align*}
Una consecuencia del Arco desde la ley son los siguientes ejemplos
Supongamos que un gran número de monedas de tirar los juegos se llevan a cabo de forma simultánea a un ritmo de uno por segundo, día y noche, durante todo un año.
En promedio, en uno de los diez juegos de la última ecualización se producirá antes de $9$ días han pasado, y el plomo no va a cambiar durante los siguientes 356 días.
En uno de cada veinte casos, el último de ecualización se lleva a cabo dentro de $2\frac{1}{2}$ días
y en uno de cada cien casos
se produce dentro de los primeros $2$ horas y $10$ minutos.
(W. Feller): de todos modos, es lógico que si incluso el simple moneda-lanzando juego conduce a resultados paradójicos que contradice nuestra intuición, ésta no puede servir como una guía confiable en las situaciones más complicadas.
