Deje $R$ ser la relación en $A:=\{1,2,3,...,23,24,25\}$ se define como $nRm$ $\iff$ $nm$ es un número cuadrado en $\mathbb N$. Demostrar que $R$ es una relación de equivalencia y determinar la partición en $A$ definido por la relación $R$.
Estoy teniendo problemas con dos partes del ejercicio: 1) demostrar la transitividad y la determinación de la partición. Así que aquí está lo que he hecho hasta ahora:
Si una relación $R$ es reflexiva, simétrica y transitiva, a continuación, $R$ es una relación de equivalencia. Así que tengo que probar que $R$ es reflexiva, simétrica y transitiva.
Reflexividad: Vamos a $n \in \mathbb A$, $nRn \iff nn$ es un cuadrado, de número natural. Pero $nn=n^2$ que es un número cuadrado y es natural por el cierre de la multiplicación en $\mathbb N$.
Simetría: Vamos A $n,m$ $\in A$. Supongamos $nRm \implies nm$ es un cuadrado, de número natural. Pero $nm=mn$, lo que significa que $mn$ es un cuadrado, de número natural $\implies$ $mRn$.
Transitividad: Vamos a $n,m,p \in A$ y supongamos $nRm$$mRp$, esto significa $nm=s^2$$mp=t^2$. A continuación,$m \vert s^2$$m\vert t^2$$np=\frac{s^2t^2} {m^2} \in \mathbb N$. Yo no podía probar que $np$ es un número cuadrado.
Para la última parte del ejercicio, yo podía entender la partición, pero el problema es que no sé cómo formalmente justificar mi resultado. Para $1$,$1Rn \implies 1n=n$ es una forma natural de la plaza. Por esta condición es inmediato que $\overline 1=\{1,4,9,16,25\}$. Para $2$, $2Rn \implies 2n$ es un cuadrado, de número natural. Bueno, yo podía ver que $\overline 2=\{2,,8,18\}$. No sé cómo ponerlo en símbolos que esto tiene que ser el equivalente de la clase $2$. Del mismo modo, he tenido problemas para justificar todos los otros equivalentes conjunto de clases. Por ejemplo, $6=\{6,24\}$ cualquier $p \in A$ con p un primo mayor que $5$, tengo que $\overline p=\{p\}$. Podría alguien ayudarme a explicar correctamente y en el lenguaje matemático?
