Continuidad absoluta y conjuntos de medida 0

Question

Tengo un problema con una declaración en la Rudin del libro "Real y el Análisis Complejo" (3ª edición) - la prueba del Teorema 7.18

Deje $f:[a,b] \mapsto \mathbb{R}$ continuo no decreciente. Si $f$ mapas de conjuntos de medida $0$ a los conjuntos de medida $0$, entonces la función de $g(x) = x + f(x)$ cumple la misma propiedad. Rudin sólo afirma que es una consecuencia trivial de la igualdad de $m(g(I))=m(I)+m(f(I))$ para cualquier intervalo de $I$, $m$ la medida de Lebesgue.

Puedo probarlo si $f$ es el aumento de la siguiente manera: Si $A$ es medible s.t. $m(A)=0$ ($m$ es la medida de Lebesgue), entonces podemos encontrar una disminución de la secuencia de abrir conjuntos de $(O_n)$ tal que $A \subset O_n$$m(O_n)\downarrow_n 0$. Si $O=\bigcap_{n=1}^\infty O_n$, luego $m(g(A)) \leq m(g(O)) = \lim_n m(g(O_n))=\lim_n \left(m(O_n) + m(f(O_n))\right)=m(O) + m(f(O))=0$ ya que en este caso especial,$\bigcap_{n=1}^\infty f(O_n)=f(O)$. De lo contrario, si $f$ sólo es no decreciente, yo no soy capaz de demostrar que $m(f(O))=\lim_nm(f(O_n))=0$.

Gracias por su ayuda!

Answer 1

Supongamos que $A$ es de medida cero. Para cualquier $\epsilon > 0$ puede cubrir $A$ % de intervalos $(c_i,d_i)$tal que $\sum (d_i - c_i) < {\epsilon \over 2}$, y ya $f$ tiene conjuntos de medida cero a medida cero, del mismo modo puede cubrir $f(A)$ % de intervalos $(g_i,h_i)$tal que $\sum (h_i - g_i) < {\epsilon \over 2}$.

Que $E = f^{-1}(\cup_i (g_i,h_i)) \cap (\cup_i (c_i,d_i))$ y $E = \cup_i (l_i,m_i)$ de escribir como Unión de intervalos abiertos cubriendo $A$. Entonces

$$m(g(E)) \leq m(f(E)) + m(E)$ $ $$ \leq \sum_i(h_i - g_i) + \sum_i(d_i - c_i) $ $ $$< {\epsilon \over 2} + {\epsilon \over 2} $ $ $$= \epsilon$ $ Desde $A \subset E$ y $\epsilon$ pueden ser hechos arbitrariamente pequeños, $g(A)$ es de medida cero.