¿Cuántas soluciones del número entero no negativo tiene la ecuación $3x + y + z = 24$?

Question

Si la ecuación es $x + y + z = 24$ es solucionable con Teorema de estrellas y barras. Pero ¿qué hacer si es $3x + y + z = 24$?

Answer 1

Observar que $3x + y + z = 24$ implica que el $y + z = 24 - 3x$. Para un valor fijo de $x$, una solución particular de la ecuación de $y + z = 24 - 3x$ corresponde a dónde ponemos una adición signo en una fila de $24 - 3x$. Por ejemplo, si $x = 5$, $y + z = 9$ y $$+ 1 1 1 1 1 1 1 1 1$$ corresponde a la solución de $y = 0$$z = 9$, mientras que $$1 1 1 1 1 1 + 1 1 1$$ corresponde a la solución de $y = 6$$z = 3$. El número de este tipo de soluciones es el número de maneras en que podemos insertar uno, además de firmar en una fila de $24 - 3x$, que es $$\binom{24 - 3x + 1}{1} = \binom{25 - 3x}{1} = 25 - 3x$$ since we must select which of the $25$ symbols ($24$ ones and one addition sign) will be an addition sign. Since $x$ is a non-negative integer satisfying $0 \leq 24 - 3x \leq 24$, $x$ can assume the nine values $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$. Hence, the number of solutions of the equation $3x + y + z = 24$ en los enteros no negativos es $$\sum_{k = 0}^{8} (25 - 3x) = \frac{9(25 + 1)}{2} = \frac{9 \cdot 26}{2} = 9 \cdot 13 = 117$$ desde $$\sum_{k = 0}^{8} (25 - 3x)$$ is an arithmetic series consisting of nine terms with initial term $25$ and final term $1$.

Answer 2

La forma más fácil es darse cuenta de que $x$ está totalmente determinado por $3x=24-y-z$ lo que significa que por la elección de $y$ y $z$, $x$ es único, ya que a largo como a $24-(y+z)$ es divisible por $3$, lo que significa en realidad la $y+z$ divisible por 3.

Esto viene a contar el número de maneras en que dos números $ 0 \leq y \leq 24 $, $ 0 \leq z \leq 24 $ se puede resumir a un número divisible por 3.

Se puede resumir en 1 hasta 0; 4 maneras de hasta 3 (para cada una selección de $y$ $0,1,2,3$ tenemos exactamente una selección de $z$); 7 maneras de hasta 6; y, en general, $3k+1$ formas a a $3k$, y subimos a 24, que se puede hacer en 25 maneras.

Usted puede hacer el cálculo de forma manual o podemos escribir:

$$\sum\limits_{k=0}^{8} 3k+1=9+3\sum\limits_{k=0}^{8}k=9+3\frac{9\cdot 8}{2}=117$$

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Y no voy a ser perezoso para añadir que no es un método general de solución de este y otros tipos similares de ecuaciones lineales. Utilice las funciones genéricas. Primero se sustituye cada variable en forma de un polinomio.

Ya sabemos que $x$ puede ir de 0 a 8 escribimos $$(1+x^3+x^6+x^9+x^{12}+x^{15}+x^{18}+x^{21}+x^{24})=\frac{x^{27}-1}{x^3-1}$$ for $y$ and $z$ we need $$(1+x+x^2+x^3+...+x^{23}+x^{24})=\frac{x^{25}-1}{x-1}$$ Así que lo que hacemos ahora es multiplicamos ellos llegar

$$P(x)=\frac{x^{27}-1}{x^3-1}\frac{x^{25}-1}{x-1}\frac{x^{25}-1}{x-1}=\frac{(x^{27}-1)(x^{25}-1)^2}{(x^3-1)(x-1)^2}$$

Si usted podría multiplicar el anterior polinomios desea obtener los coeficientes por cada una de las $x^k$ que diría ¿cuántas soluciones tiene para $3x+y+z=k$. Esto es simplemente porque la multiplicación creará cada solución y en nuestro caso, $x^{24}$ recogerá en su coeficiente el número de soluciones para $3x+y+z=24$.

Pero, no queremos multiplicar, queremos encontrar el coeficiente sin la multiplicación. Tenemos muchas opciones y por desgracia, ninguno de ellos es adecuado para el cálculo manual, incluso para el caso simple como el que tenemos nosotros.

Todavía voy a mencionar algunas de las opciones:

1. La transformación rápida de Fourier FFT, se requiere calcular el polinomio en el $n$ puntos complejos que es tedioso ya que necesitaríamos 24 puntos. Pero un equipo puede hacer eso en ningún momento.

2. De Cauchy de la integral teorema requiere el cálculo de un complejo integral. Esto todavía va a calcular el polinomio suficientemente en muchos puntos, por lo que podemos afirmar que nuestro valor integral es lo suficientemente preciso.

Si intenta usted encontrará que la solución es el valor de la integral $$\frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi} (2 \cos(x)+2 \cos(2 x)+1)^2 (2 \cos(3 x)+1)$$ $$(2 \cos(9 x)+1) (2 \cos(5 x)+2 \cos(10 x)+1)^2 (\cos(12 x)) \mathrm{d} x$$

(Podría ser incluso factible para el cálculo manual.)

3. Diferenciar el polinomio 24 veces y calcular el $\frac{P^{(24)}(0)}{24!}$ para que usted puede utilizar varios métodos numéricos.

4. Búsqueda de $P(x)$ mod $x^{25}$ y, a continuación, encontrar el coeficiente más elevado.

Así que incluso un muy complicadas ecuaciones podemos encontrar el número de soluciones que, mientras nuestros equipos pueden digerir la tarea de cálculo.

Answer 3

Poner $x=0\;,$$y+z=24$. Así, obtenemos el Total de par ordenado de $(y,z)$ $= 25$

Poner $x=1\;,$$y+z=21$. Así, obtenemos el Total de par ordenado de $(y,z)$ $= 22$

Poner $x=2\;,$$y+z=18$. Así, obtenemos el Total de par ordenado de $(y,z)$ $= 19$

Poner $x=3\;,$$y+z=15$. Así, obtenemos el Total de par ordenado de $(y,z)$ $= 16$

Poner $x=4\;,$$y+z=12$. Así, obtenemos el Total de par ordenado de $(y,z)$ $= 13$

Poner $x=5\;,$$y+z=9$. Así, obtenemos el Total de par ordenado de $(y,z)$ $= 10$

Poner $x=6\;,$$y+z=6$. Así, obtenemos el Total de par ordenado de $(y,z)$ $= 7$

Poner $x=7\;,$$y+z=3$. Así, obtenemos el Total de par ordenado de $(y,z)$ $= 4$

Poner $x=8\;,$$y+z=0$. Así, obtenemos el Total de par ordenado de $(y,z)$ $= 1$

Así que total no. de ordenada triples $(x,y,z)$ $ = 25+22+19+16+13+10+7+4+1=$

Answer 4

Permite tomar $x=0$ ahora $y+z=24$ tiene ${25\choose 1} $ soluciones ahora $y=0$ tan $3x+z=24$ tiene 1 solución y cada $x=1....8$ para soluciones de #% de #% % ahora mismo para $8$ nuevo $z$ soluciones como soluciones para $8$ ya se han contado ahora permite tomar $x=0$ tan se disponen de soluciones correspondientes a $x=1...7$ por lo que es una serie binomial que es $y,z$ así que soluciones totales ${22\choose 1}+...+{3\choose 1}=22+19+16...3=116$