He leído las páginas sugeridas como similares y no he encontrado la respuesta a mi pregunta, o si está ahí no la he entendido. He visto la densidad de probabilidad radial descrita en varias páginas web diferentes como: $$r^2 R_{nl}^2(r)$$ $$4 \pi r^2 R_{nl}^2(r)$$ $$R_{nl}^2(r)$$ Dónde $R_{nl}(r)$ es la función de onda radial. He visto que la $4\pi$ La diferencia de factores entre las dos primeras definiciones no afecta a un cálculo de, por ejemplo, el radio más probable, pero sí a mi cálculo de la probabilidad de encontrar un electrón dentro del núcleo de un átomo de hidrógeno en estado básico. He visto sugerencias de que el $4\pi$ está relacionado con la normalización. Estoy utilizando una función de onda normalizada, así que ¿qué expresión para la densidad de probabilidad es la adecuada? ¿Puede alguien explicar por qué hay diferentes versiones?
Respuestas
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Estos factores suelen aparecer al separar la función de onda de un problema tridimensional (como el átomo de hidrógeno) en sus partes radiales y angulares: $$ \psi(r, \theta, \phi) = R(r) Y(\theta, \phi). $$
Si entonces te interesa la probabilidad de encontrar la partícula (o lo que sea que estés estudiando) a una distancia del origen entre $r$ y $r+dr$ alrededor del ángulo sólido caracterizado por los ángulos $\theta$ y $\phi$ , tienes que integrar $\lvert\psi\rvert^2$ entre $r$ y $r+dr$ . En coordenadas esféricas esto se lee
$$ \lvert\psi(r,\theta,\phi)\rvert^2 \hspace{-8pt}\underbrace{d^3r}_{r^2\sin\theta drd\theta d\phi} \hspace{-10pt} = r^2R(r)^2 \lvert Y(\theta,\phi) \rvert^2 \,\,\sin(\theta) \,\,dr d\theta d\phi $$ de ahí el término $r^2 R^2(r)$ . Si el problema en cuestión es esférico, puede ser más interesante preguntarse cuál es la probabilidad de que la partícula se encuentre en la envoltura esférica entre los radios $r$ y $r+dr$ , independientemente del ángulo sólido. Esto equivale a integrar lo anterior en todo el ángulo sólido, que si no hay variación angular de $Y$ (es decir, si $\psi(r,\theta,\phi)=\psi(r)$ ), da $4\pi$ :
$$ \operatorname{P}(r_0 \le r \le r_0 + dr) = 4\pi r_0^2 R^2(r_0) dr $$
La parte radial de la ecuación de Schroedinger se resuelve con $u(r) \equiv R(r) r$ . Aquí, el $R(r)$ es la parte radial real de la función de onda. Por lo tanto, la $r^2R_{nl}^2$ viene de eso. La sustitución se hace para que parezca análoga a la ecuación de energía clásica con un potencial central (efectivo). El $4\pi$ es muy probablemente el resultado de la integración de la parte angular de las coordenadas polares esféricas. Por lo tanto, cuando se requiera utilizar la densidad de probabilidad radial para sus cálculos, deberá utilizar $R_{nl}^2$
