No podía encontrar una manera de dar pequeños consejos, así que me temo que he hecho la mayor parte de ella.
Deje $\kappa=\operatorname{c.c.}(\Bbb P)$, y deje $\lambda=\operatorname{cf}\kappa$. Para $p\in\Bbb P$ deje $$\alpha(p)=\sup\{|A|:A\subseteq{\downarrow\! p}\text{ and }A\text{ is an antichain}\}\;$$
Supongamos que $\lambda<\kappa$, y deje $A=\{p\in\Bbb P:\forall q\le p(\alpha(q)=\kappa\}$. Supongamos primero que $A\ne\varnothing$, y deje $p\in A$. Desde $\alpha(p)=\kappa>\lambda$, hay un antichain $C=\{q_\xi:\xi<\lambda\}\subseteq{\downarrow\! p}$ de cardinalidad $\lambda$. Deje $\langle\eta_\xi:\xi<\lambda\rangle$ ser una secuencia de cardenales cofinal en $\kappa$, y para $\xi<\lambda$ deje $C_\xi$ ser un antichain en ${\downarrow\! q}$ de cardinalidad $\eta_\xi$; el uso de estas antichains para derivar una contradicción y a la conclusión de que $A=\varnothing$.
Deje $D=\{p\in\Bbb P:\alpha(p)<\kappa\}$; hemos demostrado que $D$ es denso en $\Bbb P$. Deje $M$ ser un subconjunto maximal de a $D$ que es un antichain en $\Bbb P$; claramente $M$ es la máxima antichain en $\Bbb P$, ya que el $D$ es denso, por lo $|M|<\kappa$. Supongamos que $|M|<\mu<\kappa$; desde $\mu<\kappa$, hay un antichain $C$ de la energía,$\mu$, y desde $\mu>|M|$, hay un $p\in M$ compatible con $\mu$ de los miembros de $C$. Deje $C_p$ el conjunto de los miembros de $C$ que son compatibles con $p$, y para cada una de las $q\in C_p$ fix $r_q\in({\downarrow\! q})\cap({\downarrow\! p})$; claramente $\{r_q:q\in C_p\}$ es un antichain de potencia $\mu$${\downarrow\! p}$. Por lo tanto, $\sup\{\alpha(p):p\in M\}=\kappa$, y podemos de forma recursiva la construcción de un $\lambda$-secuencia $\langle p_\xi:\xi<\lambda\rangle$ $M$ tal que $\sup\{\alpha(p_\xi):\xi<\lambda\}=\kappa$ $\alpha(p_\eta)>\sup\{\alpha(p_\xi):\xi<\eta\}$ por cada $\eta<\lambda$. Ahora, elegir el adecuado antichains en ${\downarrow\! p_\xi}$ $\xi<\lambda$ y la pieza juntos para conseguir un antichain en $\Bbb P$.
