Tengo una secuencia definida como sigue:
$a_0 = 1, a_n=\cos\left(a_{n-1}\right)$.
Quiero contar $\lim_{n\rightarrow\infty} a_n$ - definitivamente tienen límite mirando el gráfico, los primera pocos números del límite son 0.7390851, pero no tengo ni idea, si ese número es relacionado a algún otro número real ($\pi$ o algo así).
La secuencia es desde este sitio, pero no ofrecen resultados reales para su propia secuencia.
Esto pasa a ser un número relativamente bien conocido. Se llama el Número de Dottie, nombrado después de profesor famoso no-en-todo de francés, Dottie. También debo señalar que el número es trascendente (también señalado en el enlace).
Aquí está una primaria de la prueba de la convergencia de la secuencia:
Observe que $0 \leq a_n \leq 1$ todos los $n$.
Considere la función $f(x) = x - \cos \cos x$.
Este es el aumento en el $[0,1]$.
Ahora desde $f(0) \lt 0$ y $f(1) \gt 0$, $f(x) = 0$ tiene una única raíz (es decir $D$)$(0,1)$, que es también la raíz de la $x = \cos x$.
Ahora si $a_n \lt D$, $a_n - a_{n+2} = f(a_n) \lt 0$
si $a_n \gt D$, $a_n - a_{n+2} = f(a_n) \gt 0$
También tenemos que $g(x) = \cos x - D$ es la disminución en $[0,1]$ y por lo tanto si $a_n \lt D$ $a_{n+1} \gt D$ e si $a_n \gt D$,$a_{n+1} \lt D$.
Desde $a_0 = 1 \gt D$
La sub-secuencia $a_0, a_2, a_4, \dots$ es monótonamente decreciente y acotada por debajo y por lo tanto es convergente (a $D$).
Del mismo modo, la sub-secuencia $a_1, a_3, a_5, \dots$ es monótona creciente y acotada arriba, y es convergente (a $D$).
Por lo tanto $\lim a_n = D$
Este es un truco estándar vale la pena conocer.
Suponiendo que el límite existe, llámalo $x$. Si $x$ es el límite de la secuencia, es la propiedad que $x = \mbox{cos}(x)$. Partir de un gráfico, podemos ver que hay exactamente una solución. Por último, Wolfram Alpha nos dice que $x = \mbox{cos}(x)$ tiene la solución de $x = 0.739085$ como dijiste.
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