Reconocer o interpretar esta involución: $\frac{\prod_{x\neq i}(1-a_xa_j)}{\prod_{y\neq j}(a_j-a_y)}$

Question

Que $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ ser números distintos. Índices $i,j$ entre $1$y $n$, poner $d_i=\prod_{j\neq i}(a_i-a_j)$ y $b_{ij}=\frac{\prod_{x\neq i}(1-a_xa_j)}{d_j}$. Sea $B$ $n\times n$ matriz $B=(b_{ij})$. ¿Alguien sabe cómo mostrar que $B$ es una involución? Una prueba añadiendo cierta interpretación a los cómputos sería mejor, por supuesto. ¿Quizás esta matriz ya tiene un nombre?

Answer 1

Deje que nos indican $$x_i=a_i^{-1},\quad y_j=a_j,\quad\beta_j=\prod_k (1-a_k a_j),\quad \gamma_i=a_i\prod_{k\neq i}(a_i-a_k),$$ a continuación, $B$ puede escribirse como $$ B_{ij}= \frac{\prod_{k\neq i}(1-a_k a_j)}{\prod_{k\neq i}(a_i-a_k)}= \frac{\prod_k (1-a_k a_j)}{a_i\prod_{k\neq i}(a_i-a_k)}\times \frac{1}{a_i^{-1}-a_j} =\frac{\beta_j}{\gamma_i}\frac{1}{x_i-y_j},$$

De ahí a la izquierda y a la derecha de la diagonal de factores $B$ es una matriz de Cauchy, y por lo tanto es muy fácil de calcular su inversa (ver, por ejemplo, (2) aquí): \begin{align}B^{-1}_{ij}=&\frac{\beta_j}{\alpha_i}\times \frac{1}{y_i-x_j}\frac{\prod_k(x_j-y_k)\prod_k(y_i-x_k)}{\prod_{k\neq j}(x_j-x_k) \prod_{k\neq i}(y_i-y_k)}=\\ =&\frac{\gamma_j}{\beta_i}\times \frac{1}{x_j-y_i}\frac{\prod_k(1-a_ja_k)\prod_k(1-a_ka_i)}{a_j^2\prod_{k\neq j}(a_j-a_k)\prod_{k\neq i}(a_i-a_k)}=\\=& \frac{\gamma_j}{\beta_i}\times \frac{1}{x_j-y_i}\frac{\beta_j\beta_i a_i}{\gamma_j\gamma_i a_j}=\\ =&\frac{\beta_j}{\gamma_i}\times \frac{a_i}{a_j(x_j-y_i)}=\\ =&\frac{\beta_j}{\gamma_i}\frac{1}{a_i^{-1}-a_j}=\\ =&B_{ij}.\end{align}

Answer 2

Aquí es una interpretación en términos de interpolación de Lagrange.

Observe que $$b_{ij} = \frac{1}{a_i^{n-1}} \frac{\prod_{k \neq i} (a_j - a_k^{-1})}{\prod_{k \neq i} (a_i^{-1} - a_k^{-1})},$$ so comparing with the formulas for Langrange interpolation we get the following interpretation for $B$:

Dado un vector $y = (y_i)_i$, para calcular el $By$, encontramos el único polinomio $F$ de grado en la mayoría de las $n-1$ tal que $F(a_i^{-1}) = \frac{y_i}{a_i^{n-1}}$; a continuación,$(By)_i = F(a_i)$.

Ahora bien, dado que cualquier polinomio de grado $n-1$ o inferior, $F(x)=c_0 + \cdots + c_{n-1}x^{n-1}$, vamos a $F^R(x) = c_n + \cdots + c_0 x^{n-1}$ ser su "inversión" (tal vez sea más correcto llamar a su $(n-1)$-inversión, en el caso de $\deg F<n-1$). Tenemos $F^R(x) = x^{n-1}F(x^{-1})$, por lo que podemos reformular la interpretación de $B$ como sigue:

Dado un vector $y = (y_i)_i$, para calcular el $By$, encontramos el único polinomio $G$ de grado en la mayoría de las $n-1$ tal que $G(a_i) = y_i$; a continuación,$(By)_i = G^R(a_i)$.

Esta última modalidad se deja claro que es una involución.