Sobre cardinalidad de clases de equivalencia

Question

Decir $R$ es el conjunto de todos los Riemann integrable funciones de $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$. Podemos definir una relación de equivalencia en $R$ como sigue: $f$ $g$ se dice para ser integralmente equivalente iff sólo difieren en un (Lebesgue) medida de ajuste a cero. Probar que el conjunto de estas clases de equivalencia tiene una cardinalidad de un continuum.

Por favor, permítanme que les recuerde que una función es Riemann integrable en $[a,b]$ fib está delimitada allí y su discontinuidad conjunto hay un conjunto null (tiene medida cero).

Se sabe que $R$ tiene cardinalidad de a $2^{|\mathbb{R}|}$, es decir, mayor que el continuum. También, la colección de null conjuntos tiene la misma cardinalidad.

Por favor, dar su opinión sobre cómo se puede abordar este problema. Completa las pruebas también son bienvenidos. Gracias.

Answer 1

Creo que se puede demostrar que las funciones continuas son densos en $R/_\sim$ dotado de la integral de la norma en mucho la misma manera como lo hace para $L^1$ (o simplemente incrustar en $L^1$ o $L^\infty$ si te sientes perezoso). Esto demuestra que $R$ es separable (porque las funciones continuas son, por funciones lineales a trozos pegados en puntos racionales) separable espacio métrico no puede tener una cardinalidad mayor que el de continuidad (porque por cada punto tenemos una sucesión convergente a él, y sólo hay continuum muchos de esos).

Para el límite inferior, se puede, por supuesto, el uso constante de las funciones.

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Una mayor participación de la prueba: podemos ver que la constante a trozos funciones racionales valores y racional puntos de salto son densos en $R/_\sim$ integral a la norma. Podemos suponer wlog que $a=0,b=1$. Elegir arbitraria $f\in R,\varepsilon>0$. Cuando ponemos

$$S(f,n,j):=\sup_{x\in [(j-1)/n,j/n]}f(x)$$ $$U(f,n):=1/n \cdot \sum_{j=1}^n S(f,n,j)$$ , $I(f,n,j),L(f,n)$ asimismo, y elija $N$ lo suficientemente grande como para que $U(f,N)-L(f,N)<\varepsilon/2$. Para cada una de las $j\le N$ podemos optar $q_j$ racional, de modo que $\varepsilon/2>S(f,N,j)-q_j>0$. A continuación, poner $g(x)=q_j$ $x\in [(j-1)/N,j/N)$, $g(1)=q_N$. Entonces:

$$ S(\lvert g-f\rvert,N,j)\le \varepsilon/2+S(f,N,j)-I(f,N,j)$$ así $$U(\lvert g-f\rvert,N)=1/N\cdot \sum_{j=1}^n S(\lvert g-f\rvert,N,j)\le\varepsilon/2+U(f,N)-L(f,N)<\varepsilon$$ Y hemos terminado.