Por qué debe tener una función partes pares e impares

Question

Para una función $f(x)$, fue dado aquí con la derivación que tiene $E(x)$ como parte incluso y $O(x)$ como parte impar,

$$f(x)=E(x)+O(x)$$

¿por qué esto tiene que ser siempre verdadera? ¿Qué es la prueba?

Answer 1

Si la función toma valores en un anillo en la que $2$ tiene una inversa, siempre podemos escribir:

$$f(x)=\underbrace{\frac{f(x)+f(-x)}{2}}_{E(x)}+\underbrace{\frac{f(x)-f(-x)}{2}}_{O(x)}$$