¿Cuánto es el $\lceil\frac{1}{\infty}\rceil$?
Por un lado, $\frac{1}{\infty}=0$, así que su techo es también $0$.
Por otro lado, todos $x\geq 1$, $\lceil\frac{1}{x}\rceil = 1$, por lo tanto, cuando $x$ va a infinito, la función debe permanecer con el mismo valor...
No, $\frac1\infty$ no $0$: está definido. Así, por lo tanto, es $\left\lceil\frac1\infty\right\rceil$.
Su argumento de que debería ser $1$ también es incorrecto: se basa en una suposición inconsciente que la función de techo es continua. El mismo argumento diría desde $1=\lim_{x\to 0^+}(x+1)$ y desde $\lceil x+1\rceil\ge 2$ % todo $x>0$, $\lceil x+1\rceil=2$ % pequeño todos $x>0$, por lo tanto debe de $\lceil x+1\rceil$ $2$. Pero por supuesto no lo es: que $1$. La función de techo no es continua por la derecha a números enteros.
Siempre es peligroso escribir $\infty$ en los cálculos. Luego tienes lo que te refieres con escribir $\infty$. En este caso, tienes dos posibilidades: $$\lim_{n\to\infty}\left\lceil \frac{1}{n} \right\rceil=1$ $ o %#% $ #% no se pueden cambiar una función y un límite sin más explicaciones. Comparar con el problema importante del análisis donde intentan cambiar un límite y un integral (la razón por qué se inventó la integral de Lebesgue).
Gran pregunta! El principal problema de nadie, va a tener que responder es que la fracción $\frac1\infty$ no está definido: $\infty$ no es parte de la orden de campo de los números reales, y no sólo puede dividir $1$$\infty$. Por otra parte, la función de $\lceil.\rceil$ es por lo general sólo se define en la recta numérica real, por lo que incluso extraño campos como la hyperreal números (creo), donde las cosas como $\frac1\infty$ do sentido, es mucho más difícil de hacer sentido de la $\lceil\frac1\infty\rceil$.
He aquí una manera de que usted podría tratar de hacer sentido de ella. Usted dice que $\frac1\infty=0$. En matemáticas, no decimos eso, pero nos dicen que $\lim_{x\to\infty}\frac1x=0$. '$\lim_{x\to\infty}$' significa que no tenemos en cuenta el comportamiento de $\frac1x$ $x$ se hace arbitrariamente grande. Como hacemos $x$ más grande, $\frac1x$ se acerca más y más a $0$: de hecho, podemos hacer que se aproxime a $0$ como nos gusta por la elección de $x$ lo suficientemente grande. Por lo $\lim_{x\to\infty}\frac1x=0$. Por lo tanto, $\lceil\lim_{x\to\infty}\frac1x\rceil=0$.
Pero también podemos interpretar $\lceil\frac1\infty\rceil$ como la expresión matemática de $\lim_{x\to\infty}\lceil\frac1x\rceil$. Ahora estamos considerando el comportamiento de $\lceil\frac1x\rceil$ $x$ se hace arbitrariamente grande. Esta vez, el comportamiento es mucho más simple: mientras $x\ge1$, $\lceil\frac1x\rceil=1$. Por lo tanto, $\lim_{x\to\infty}\lceil\frac1x\rceil=1$.
Porque no se puede intercambiar el orden de la toma de límites y tomar el techo de la función, podemos decir que la función ceiling $\lceil y\rceil$ es discontinua en el punto de $y=0$. La discontinuidad significa que hay un "salto" en la gráfica de la función: usted no puede dibujar sin tomar el lápiz de la página:
Aviso el 'salto' en el punto de $0$ en este gráfico de la función ceiling.
El opuesto de 'discontinuo' es continua. Una función de $f$ es continua en un punto a $a$ si $f(a)=\lim_{x\to a}f(x)$. Funciones que son continuas en todas partes incluyen todos los polinomios, y otros muy bonitos funciones como $\sin$, $\cos$ y las funciones de Bessel, pero el techo de la función es discontinua en a $0$, que es la razón por la que no podemos dar sentido a $\lceil\frac1\infty\rceil$.
Elaborar en el comentario anterior por @Jonas Meyer, hay un número de sistemas de extender $\mathbb{R}$ que contienen números infinitos. Si el símbolo "$\infty$" se interpreta como una referencia a un número positivo, entonces $\frac1\infty$ es positivo infinitesimal. En algunos de estos sistemas, tales como el hyperreals, hay un principio que permite extender las funciones para el mayor número de sistema. En particular, el piso y el techo de las funciones de extender en este camino, y uno de neccesarily tiene que $\lceil\frac1\infty\rceil$ es de hecho 1.
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