Muestran que un grupo finito con cierto automorphism es abeliano

Question

Deje $G$ ser un grupo finito y $f:G\to G$ un isomorfismo. Si $f$ no tiene puntos fijos (es decir, $f(x)=x$ implica $x=e$) y si $f\circ f$ es la identidad, entonces, $G$ es abelian. (Sugerencia: Probar que todo elemento de a $G$ tiene la forma $x^{-1}\cdot f(x)$.)

Con la sugerencia, puedo ver que para todos los $t\in G$, $f(t)=t^{-1}$, y desde $f$ es un isomorfismo, $G$ es abelian. Pero no puedo ver cómo probar la pista o por qué es evidente.

Fuente : Rotman J. J. Introducción a la teoría de grupos, el ejercicio 1.50

Answer 1

Metahint (pista por la sugerencia): Demostrar que si $x^{-1}f(x) = y^{-1}f(y)$,$x=y$. A la conclusión de que el mapa (no necesariamente un grupo homomorphism, en este punto es sólo un conjunto teórico de la función) $x\mapsto x^{-1}f(x)$ $G$ a sí mismo es uno-a-uno.

Tenga en cuenta que las dos cosas que no uso una vez que tenga la pista son propiedad que $f(z)=z$ implica $z=e$, y la condición de que $G$ es finito. Me pregunto si el que va a jugar un papel en el establecimiento de la pista...?

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Notas adicionales. Las condiciones que $G$ ser finito y que $f$ no tienen puntos fijos son ambos necesarios para la conclusión a seguir.

Un ejemplo de un infinito nonabelian grupo $G$, un isomorfismo $f\colon G\to G$ sin puntos fijos, y con $f\circ f = \mathrm{id}_G$ está dado por dejar a $G$ ser el grupo libre de rango $2$, libremente generada por $x$$y$, e $f\colon G\to G$ ser el mapa de swaps $x$$y$. No tiene puntos fijos, ya que una reducción de la palabra que comienza con $x$ o $x^{-1}$ tiene la imagen que comienza con $y$ o $y^{-1}$, y viceversa; componer el mapa con la misma da la identidad; pero $G$ no es abelian. Incluso a pesar de la teórica) mapa de $w\mapsto w^{-1}f(w)$ es todavía uno-a-uno, no es en: la imagen contiene sólo palabras, donde la suma de los exponentes es igual a $0$, así por ejemplo, $x$ no puede ser escrito como $w^{-1}f(w)$ cualquier $w\in G$.

Para un ejemplo con $G$ finito pero no abelian si $f$ tiene puntos fijos, simplemente tomar cualquier nonabelian grupo con un noncentral elemento $g$ orden $2$ (cualquier nonabelian simple grupo va a hacer), y $f$ a ser la conjugación por $g$.