Aquí, voy a dar una respuesta que no implican ningún tipo de uso de Taylor
de la serie. También se utiliza la Regla de L'Hospital de un mínimo de veces, y con el fin de
demostrar básicos de límites, que son los siguientes
\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x}{x^{3}} &=&-\frac{1}{6},\ \ \ \ \
\ \ \ \ and\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin ^{-1}x-x}{%
x^{3}}=\frac{1}{6} \\
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x+\frac{x^{3}}{6}}{x^{5}} &=&\frac{1}{120},%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ and\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{%
\sin ^{-1}x-x-\frac{x^{3}}{6}}{x^{5}}=\frac{3}{40}.
\end{eqnarray*}
En primer lugar, tenga en cuenta que el simple cambio de variable $\sin x=t$ muestra que
\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x\sin (\sin x)-\sin ^{2}(x)}{x^{6}}
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x\sin (\sin x)-\sin ^{2}(x)}{\sin ^{6}x}\left(
\frac{\sin x}{x}\right) ^{6} \\
&=&\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\sin t\sin ^{-1}t-t^{2}}{t^{6}}.
\end{eqnarray*}
Por lo tanto, en realidad, equivale a responder a la siguiente pregunta equivalente:
\begin{equation*}
\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\sin t\sin ^{-1}t-t^{2}}{t^{6}}.
\end{ecuación*}
En la actualidad, algunas manipulaciones algebraicas tienen que ser utilizados. Pero antes, voy a
explicar cómo se realiza. Si desea escribir el número de $56$ como
función del número de $15$ puede escribir
\begin{equation*}
56=15\times 3+rest
\end{ecuación*}
y te encuentras con la $rest$
\begin{equation*}
rest=56-15\times 3=56-45=11.
\end{ecuación*}
El número de $3$ fue elegida (en $15\times 3$) por lo que el resto $11$ sería
menor que $15.$ volvamos a nuestra expresión
\begin{equation*}
\left( \frac{\sin t\sin ^{-1}t-t^{2}}{t^{6}}\right)
\end{ecuación*}
queremos escribir como un producto de algunas expresiones de los límites básicos
citado anteriormente. Puesto que la expresión contiene el producto $\sin t\sin ^{-1}t$
y el denominador es $t^{6}$, por lo que la selección natural sería este producto $%
\left( \frac{\sen t-t}{t^{3}}\right) \left( \frac{\sin ^{-1}t-t}{t^{3}}%
\right) ,$, a continuación, tratamos de encontrar el 'resto' de la siguiente manera
\begin{equation*}
rest=\left( \frac{\sin t\sin ^{-1}t-t^{2}}{t^{6}}\right) -\left( \frac{\sin
t-t}{t^{3}}\right) \left( \frac{\sin ^{-1}t-t}{t^{3}}\right)
\end{ecuación*}
que fácil después de los cálculos que uno obtiene
\begin{eqnarray*}
rest &=&\left( \frac{\sin t\sin ^{-1}t-t^{2}}{t^{6}}\right) -\left( \frac{%
\sin t-t}{t^{3}}\right) \left( \frac{\sin ^{-1}t-t}{t^{3}}\right) \\
&=&\frac{t\sin t+t\sin ^{-1}t-2t^{2}}{t^{6}}.
\end{eqnarray*}
Ahora simplificamos por $t$ e intentar escribir el resultado como una nueva función (tal vez
producto) de las expresiones de los límites básicos. Desde $\sin t$ $\sin ^{-1}t$
son lineales en la última expresión, me refiero a que no hay ningún exponente en cualquiera de
ellos, por lo que ningún producto es permitido ahora, pero debemos agregar expresiones
contiene términos lineales de $\sin t$ $\sin ^{-1}t.$ La elección natural es
el siguiente
\begin{equation*}
\frac{\sin t+\sin ^{-1}t-2t}{t^{5}}=\left( \frac{\sin t-t+\frac{t^{3}}{6}}{%
t^{5}}\right) +\left( \frac{\sin ^{-1}t-t-\frac{t^{3}}{6}}{t^{5}}\right) .
\end{ecuación*}
Ahora vamos a resumir la resultante de los cálculos de la siguiente manera:
\begin{eqnarray*}
\left( \frac{\sin t\sin ^{-1}t-t^{2}}{t^{6}}\right) &=&\left( \frac{\sin t-t%
}{t^{3}}\right) \left( \frac{\sin ^{-1}t-t}{t^{3}}\right) +\frac{t\sin
t+t\sin ^{-1}t-2t^{2}}{t^{6}} \\
&=&\left( \frac{\sin t-t}{t^{3}}\right) \left( \frac{\sin ^{-1}t-t}{t^{3}}%
\right) +\frac{\sin t+\sin ^{-1}t-2t}{t^{5}} \\
&=&\left( \frac{\sin t-t}{t^{3}}\right) \left( \frac{\sin ^{-1}t-t}{t^{3}}%
\right) +\left( \frac{\sin t-t+\frac{t^{3}}{6}}{t^{5}}\right) +\left( \frac{%
\sin ^{-1}t-t-\frac{t^{3}}{6}}{t^{5}}\right)
\end{eqnarray*}
Sin las explicaciones dadas por encima de estas descomposiciones aspecto difícil o
muy género, que caen desde el cielo, pero espero que me las han proporcionado
suficientes detalles para hacer de ellos naturales.
Al final, pasando al límite, $t$ tiende a $0$ y el uso de los límites básicos da inmediatamente
\begin{equation*}
\lim_{t\rightarrow 0}\left( \frac{\sin t\sin ^{-1}t-t^{2}}{t^{6}}\right)
=\left( -\frac{1}{6}\right) \left( \frac{1}{6}\right) +\left( \frac{1}{120}%
\right) +\left( \frac{3}{40}\right) =\frac{1}{18}.\ \blacksquare
\end{ecuación*}
Ahora, me permito traer a la atención del lector que SÓLO hemos utilizado BÁSICOS
los límites, y no las funciones implicadas en sí mismos. También, si se elimina el
extra explicaciones, la respuesta es corta.
Deje $f$ $g$ cualquiera de las dos funciones definidas en torno a $t=0$ tal que
\begin{eqnarray*}
\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(t)-t}{t^{3}} &=&a,\ \ \ \ \ \ \ \ \ and\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \lim_{t\rightarrow 0}\frac{g(t)-t}{t^{3}}=b \\
\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(t)-t+\frac{t^{3}}{6}}{t^{5}} &=&c,\ \ \ \
\ \ \ \ \ and\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \lim_{t\rightarrow 0}\frac{g(t)-t-\frac{%
t^{3}}{6}}{t^{5}}=d.
\end{eqnarray*}
Entonces uno puede mostrar que
\begin{equation*}
\lim_{t\rightarrow 0}\left( \frac{f(t)g(t)-t^{2}}{t^{6}}\right) =ab+c+d.
\end{ecuación*}
La PRUEBA (que es corta).
\begin{eqnarray*}
\left( \frac{\mathsf{f(t)g(t)}-t^{2}}{t^{6}}\right) &=&\left( \frac{\mathsf{%
f(t)}-t}{t^{3}}\right) \left( \frac{\mathsf{g(t)}-t}{t^{3}}\right) +\frac{t%
\mathsf{f(t)}+t\mathsf{g(t)}-2t^{2}}{t^{6}} \\
&=&\left( \frac{\mathsf{f(t)}-t}{t^{3}}\right) \left( \frac{\mathsf{g(t)}-t}{%
t^{3}}\right) +\frac{\mathsf{f(t)}+\mathsf{g(t)}-2t}{t^{5}} \\
&=&\left( \frac{\mathsf{f(t)}-t}{t^{3}}\right) \left( \frac{\mathsf{g(t)}-t}{%
t^{3}}\right) +\left( \frac{\mathsf{f(t)}-t+\frac{t^{3}}{6}}{t^{5}}\right)
+\left( \frac{\mathsf{g(t)}-t-\frac{t^{3}}{6}}{t^{5}}\right)
\end{eqnarray*}
Pasando al límite cuando $t$ tiende a $0$ y el uso de los BÁSICOS de los LÍMITES dados en la hipótesis de que uno se
\begin{equation*}
\lim_{t\rightarrow 0}\left( \frac{\mathsf{f(t)g(t)}-t^{2}}{t^{6}}\right)
=ab+c+d.\ \blacksquare
\end{ecuación*}
