Homomorfismo del anillo con $\phi(1_R) \neq1_S$

Question

Que $R$ $S$ ser anillos con unidad $1_R$ y $1_S$ respectivamente. Que $\phi\colon R\to S$ ser un homomorfismo del anillo. Dar un ejemplo de un cero $\phi$ tal que $\phi(1_R)\neq 1_S$

Tratando de encontrar un cero $\phi$ he hecho la siguiente observación:
Ya que para el $\forall r\in R$ $\phi(r) = \phi(r\times1_R) = \phi(r)\times\phi(1_R)$ debemos tener que $\phi(1_R)$ es una identidad de $\phi(R)$ pero no una identidad de $S$. Para ello debemos construir un $\phi$ que no es a y que tienen esta propiedad. No puedo subir con cualquier ejemplo explícito, por favor me ayude.

Answer 1

Que $R$ ser cualquier anillo y $S=R\times R$. La inserción mapa $r\mapsto (r,0)$ da tal homomorfismo. (Tenga en cuenta que algunos autores requieren que $\phi(1_r)=1_S$ $\phi$ ser un homomorfismo).

Answer 2

Ya que para cualquier homomorphism $\phi$, $$\phi(1_R) = \phi(1_R \cdot 1_R) = \phi(1_R)\phi(1_R),$$ cualquier homomorphism debe mapa de $1_R$ a un elemento idempotente de $S$. Si asigna a un elemento idempotente otros de $1_S$, la imagen de $\phi$ será un sub-anillo $S'$ $S$ y usted encontrará que cualquier elemento que asignan $\phi(1_R)$ a a ser $1_{S'}$.

Tenga en cuenta que no todos los elemento idempotente de $S$ es un candidato válido. Algunos ejemplos concretos:

Válido:

Deje $R = \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$$S = \mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$. Si definimos $\phi(1_R) = 10_S$, que es idempotente en $S$, hemos definido una válida homomorphism.

No válido:

Deje $R = \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$$S = \mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$. Si definimos $\phi(1_R) = 6_S$, tanto idempotente en $S$, la asignación no está bien definida. Por ejemplo, $$\phi(0_R) = \phi(6_R)$$ desde $R \cong Z_6$, pero $$\phi(6_R) = 6_S \neq 0_S = \phi(0_R).$$ Por lo tanto, una asignación no está bien definida.

Un problema similar se produce si definimos $\phi(1_R) = 1_S$. Así, cuando se considera sólo a homomorphisms que el mapa de la identidad del dominio de la identidad del codominio, nos encontramos con el siguiente teorema.

Teorema: Un homomorphism $\phi: \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ sólo existe si $n$ divide $m$.