matriz inversa

Question

¿Qué es la inversa de la siguiente matriz? $$\begin{bmatrix} \binom{N}{0} &\binom{N+1}{0} &... &\binom{2N-1}{0} \\ \binom{N}{1} &\binom{N+1}{1} &... &\binom{2N-1}{1}\\ ...& ... &... &... \\ \binom{N}{N-1} &\binom{N+1}{N-1} &... &\binom{2N-1}{N-1} \end{bmatrix}$$

Answer 1

Su matriz, llame a $A_N$, pueden ser factorizados como $B_N C_N$, donde $$B_N = \left[ \binom{N}{i-j} \right]_{i,j=0,\dots,N-1}$$ y $$C_N = \left[ \binom{j}{j-i} \right]_{i,j=0,\dots,N-1}.$$ Por ejemplo, para $N=5$ este será $$\left( \begin{array}{lllll} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 10 & 15 & 21 & 28 & 36 \\ 10 & 20 & 35 & 56 & 84 \\ 5 & 15 & 35 & 70 & 126 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{lllll} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 10 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 10 & 10 & 5 & 1 & 0 \\ 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{lllll} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right).$$ Los inversos de estos factores son $$B_N^{-1} = \left[ (-1)^{i+j} \binom{N-1+i-j}{N-1} \right]_{i,j=0,\dots,N-1}$$ y $$C_N^{-1} = \left[ (-1)^{i+j} \binom{j}{j-i} \right]_{i,j=0,\dots,N-1}.$$ A continuación, $A_N^{-1}=C_N^{-1} B_N^{-1}$ de curso, pero no sé si eso se simplifica a algo agradable. (No he encontrado ningún hits en OEIS.) En cualquier caso, el hecho de que $B_N$ $C_N$ tienen un factor determinante (ya que son triangulares con unos en la diagonal) explica por qué la $A_N^{-1}$ ha entero entradas.

Editar: Aquí está la imagen prometido en mi comentario. Se ilustra la situación de la $N=5$.

La entrada $(i,j)$ (a contar a partir de cero) en la matriz de $A_5 = B_5 C_5$ es igual al número de rutas a través del grafo dirigido de la fuente número $i$ a la izquierda para lavabo número de $j$ a la derecha.

Por cierto, la red muestra que $B_N$ pueden ser factorizados además, sólo por diversión: $$B_5 = \left( \begin{array}{lllll} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 6 & 4 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 6 & 4 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{lllll} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 3 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 6 & 4 & 1 \end{array} \right).$$ (El primer factor corresponde a los primeros cuatro flechas azules, y el segundo factor para los próximos cuatro flechas azules.)