Su libro de texto dice que la solución fundamental es$\Phi(x,t) = \frac{1}{(4\pi t)^{n/2}}e^{-\frac{|x|^2}{2t}}$, a continuación, sustituimos en la definición de la energía de la bola:
\begin{eqnarray} E(x,t,r) &=& \left\{ (y,s): s \leq t \text{ and } \frac{1}{(4\pi (t-s))^{n/2}}e^{-\frac{1}{2}\frac{|x-y|^2}{t-s}} \geq \frac{1}{r^2}\right\} \\
&=& \bigcup_{s \leq t} \left\{ (y,s): |x-y|^2 \leq -2(t-s)\log \frac{(4\pi (t-s))^{n/2}}{r^2}\right\} \end{eqnarray}
Por lo tanto la energía de la bola vive en (llano-viejo Galileo) el espacio-tiempo $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}$ y fibrado por Euclidiana bolas. Esto es algo así como un Euclidiana luz de cono en la física.
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Estocástico Punto de Vista
Se puede demostrar que la ecuación del calor puede ser resuelto por la caminata aleatoria. Creo que la fórmula es $f(x) = \mathbb{E}[f(B_\tau)]$ donde $\tau$ es el golpear de tiempo de un movimiento Browniano con $B_0 = x$ golpear el límite de $B_\tau \in \partial V$.
Uno puede imaginar el calor de difusión por medio de un movimiento Browniano. Ver a Greg Lawler Ecuación del Calor y la Caminata Aleatoria.
En realidad ahora que lo pienso, resolver la ecuación del calor por convolving la solución inicial $u(t=0, x)$ con el calor del kernel $\frac{1}{\sqrt{t}}e^{-x^2/t}$. Convolving con el calor del núcleo es como si la difusión de la solución original a través de movimiento Browniano.
- para $t \ll 1$ este es un punto de distribución de $\frac{1}{\sqrt{2\pi / t}}e^{-x^2/t} \to \delta(t)$
- para $t \gg 1$ esto es uniforme a través del espacio de $\frac{1}{\sqrt{2\pi/ t}}e^{-x^2/t} \to \frac{1}{\sqrt{t}}$.
Lineal de la PDE, que convolución puede ser pensado sólo como la suma de Minkowski, o la teoría de los "frentes", como se menciona en el libro de Hormander: Análisis Lineal de Operadores Diferenciales Parciales I o Tao el blog de la Informática Circunvoluciones de Medidas.
La media del valor de la propiedad es bastante intuitivo en el que el estocástico punto de vista:
$$\Delta^2 f \approx \frac{f(x+h,y)+ f(x,y+h)+f(x-h,y)+f(x,y-h) }{4} = \mathbf{E}f\big((x,y) + (\Delta x, \Delta y)\big)$$
donde $(\Delta x, \Delta y)= (\pm 1, \pm 1)$ cada uno con una probabilidad de $\mathbb{P}=\frac{1}{4}$. O en forma geométrica el Laplaciano es simplemente el promedio de los valores de $f$ sobre un círculo:
$$ \Delta^2f = \frac{1}{2\pi} \oint f\bigg((x,y) + \epsilon(\cos \theta, \sin \theta)\bigg)d\theta = f(x)$$
