Quiero saber algunos conceptos que está presente en el espacio métrico, pero no en espacio topológico. Que primero viene a la mente es la continuidad uniforme, equicontinuity es decir, conceptos definidos con algún tipo de distancia.
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jmans
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Te voy a dar un poco ortodoxo respuesta, deliberadamente interpretar el significado de espacio métrico en el más amplio manera razonable posible. En Flagg "quantales y la continuidad de los espacios" el concepto de valor quantale es introducido. Un valor quantale como una abstracción de la estructura esencial de la no-negativos reales necesarios para definir un espacio métrico. Entonces, dado un valor quantale $V$, un espacio métrico es un conjunto $X$ junto con una función de distancia $d\colon X\times X\to V$ satisfacción $d(x,x)=0$$d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$, para todos los $x,y,z\in X$.
En "Una nota sobre el metrization de espacios" (álgebra universalis, aparecer) me muestran que Flagg métrica de espacios equivalentes a los de los espacios topológicos en un sentido preciso (es decir, la categoría de todos los Flagg métrica de espacios con funciones continuas es equivalente a la categoría de espacios topológicos con funciones continuas). Eso significa que la clásica definición de espacio topológico y Flagg la definición de espacio métrico son sólo modelos diferentes de la misma cosa (es decir, de la topología).
Así, en particular, todo espacio topológico metrizable para un adecuado valor quantale $V$. En vista de que, conceptos como el uniforme de continuidad, integridad, etc. tienen significado en espacios topológicos, pero más a menudo que no, las interpretaciones de estos conceptos para el valor quantale $V$ en la prueba de la general metrization de un espacio topológico se vuelven triviales.
En vista de eso, ahora voy a interpretar tu pregunta de la siguiente manera. Las propiedades que son especiales para métrica de espacios con valores en el valor quantale $[0,\infty ]$ de los no-negativos reales (espacios métricos son los de siempre (aunque no necesariamente simétrica, ni separados)). A lo que mi respuesta es que el concepto de Lipschitz mapas no está definido en un valor general quantale, sino que se define por $[0,\infty ]$ (pero también en algunos otros valor quantales, por lo que no acaba de a $[0,\infty ]$, pero es sin duda mucho de lo genérico).
notpeter
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Una diferencia muy importante entre espacios métricos y espacios topológicos es que la métrica espacios de la estructura a gran escala mientras que los espacios topológicos sólo tienen la estructura local. (Esto sólo es cierto para la correcta interpretación de la estructura a gran escala, en particular, uno que no incluye la compacidad.) Esta es la motivación para el interesante campo de la gruesa de la geometría, en el centro geométrico de teoría de grupos.
El problema básico es que en cualquier espacio métrico $(X,d)$ la métrica $d'=\min(d,1)$ define la misma topología $d$. Eso es más o menos por qué el intervalo abierto es topológicamente idéntica a la línea real-aunque son métricamente enormemente diferente! Grueso de la geometría se centra en esta estructura a gran escala, por lo que ahora el real línea se convierte en isomorfo a los números enteros, y cada espacio métrico define una gruesa espacio, así como también define un espacio topológico. Esta es una buena manera de conseguir un sólido nociones como la dimensión de una celosía, que no funciona en todos los topológicamente.
Terry Phan
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36
Sin intentar ser exhaustivos, en orden alfabético:
- bolas
- acotamiento y el total de acotamiento
- Cauchy secuencias/redes (sentido en espacios vectoriales topológicos, también)
- integridad
- las contracciones
- Hausdorff distancias
- isometría
- La continuidad Lipschitz
- uniforme de estructuras
También, las siguientes propiedades son a menudo útiles:
- Cada espacio métrico es perfectamente normal. Esto implica los siguientes axiomas de separación, y también: normal, completamente regular, regular, Hausdorff, y los únicos están cerradas ($T_1$).
- Cada espacio métrico es la primera contables. Esto implica, en particular, que el cierre y la continuidad puede ser tratado en términos de secuencias, en contraposición a las redes en general de espacios topológicos.
- Cada espacio métrico es compacto si y sólo si es completo y totalmente acotado.
- Cada compacto de espacio métrico separable.
- Cada conjunto abierto en un espacio métrico es $F_{\sigma}$.
- Cada conjunto cerrado en un espacio métrico es $G_{\delta}$.
- No hay espacio métrico completo es una contables de la unión de la nada densos conjuntos (de categoría de Baire teorema). Esta propiedad es en realidad topológico, en el sentido de que es preservada por homeomorphism.
- Divisibilidad y la segunda countability son conceptos idénticos para la métrica de los espacios.
- También, la compacidad y compacidad secuencial son conceptos idénticos.
Przemysław Scherwentke
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user4894
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Un ejemplo interesante es la integridad.
Es bien sabido que los números reales son completos. La integridad es la propiedad definitoria de los reales, lo que hace que los reales especiales. No hay elementos que faltan. Cada secuencia de Cauchy converge.
Los reales son topológicamente equivalente a la unidad de intervalo de $(0,1)$ a través de la $\tan$ $\arctan$ funciones (a escala adecuada). Sin embargo, $(0,1)$ no es completa. La secuencia de Cauchy $\{1/n\}_{n \in \mathbb{N}}$ no converge.
La integridad es una métrica de la propiedad y no un topológico.
