¿Es esto posible probar a través del método de inducción. Parece que no es para mí. Construí un caso base, procedí a sustituir en k, luego finalmente me trasladé a mi caso$k+1$. Donde terminé con un polinomio que parece irreducible. Mi respuesta parece
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Desde mi comprensión para que esto sea verdad todas las variables k en nuestro lado derecho deben ser simplificadas a (k 1) que no puedo encontrar una manera de hacer.
Puede demostrarlo directamente: observe que$$\begin{align}n^3 + 5n &\equiv n^3-n \pmod 6 \\&= (n-1)(n)(n+1) \pmod 6\end{align}$ $
Ahora, al menos uno de$n-1,n,n+1$ debe ser divisible por 2. El mismo argumento es válido para 3. Por lo tanto, tanto$2$ como$3$ deben dividir$n^3+5n$.
Por lo tanto,$6= 2\cdot3$ debe dividir$n^3+5n$.
Claramente la afirmación es verdadera para$k=1$ ya que,$k^3 +5k = 1 +5 = 6$
Suponga que es cierto para k implica que$k^3 +5k$ es divisible por seis.
Y muestran que es verdad para k 1
$$ \begin{align}(k+1) ^3 + 5(k+1) & = (k^3 + 3k^2 +3k +1) + (5k + 5) \\ & = (k^3 +5k) + (3k(k+1)) + 6 \end {align} $$
Ahora, el primer término es divisible por seis por la suposición en el paso 2. El término medio,$3k(k+1)$ también es divisible por seis para todo$k \ge 1$ (prueba dejada al lector) y claramente el último término es También divisible por seis. Por lo tanto, la proposición es verdadera para$k+1$. QED.
Desea mostrar que$n^3 + 5n \equiv 0 \pmod 6 $. Como ya demostraste, el caso base$n=1$ comprueba. Así que veamos$n=k+1$ $$$ (k+1)^3 + 5 (k+1) \equiv 0 \pmod 6 $ $ y podemos deshacernos del$$ k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 5k+5 \equiv 0 \pmod 6 $ ya que es divisible por$1+5$,$6$ ps
Puede alternar continuamente entre factoring y expandir y siempre podrá eliminar un factor de$$ k^3 + 3k^2 + 8k \equiv 0 \pmod 6 $.
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