Limitando las raíces de la suma de dos polinomios monicos con coeficientes reales.

Question

Deje $P_1(z)$ $P_2(z)$ ser monic polinomios con coeficientes reales y las raíces de la $\{z_1^{(1)},z_1^{(2)},...\}$$\{z_2^{(1)},z_2^{(2)},...\}$, respectivamente. Hay resultados relativos a la no-trivial raíces $\{z^{(1)}, z^{(2)},...\}$ de \begin{equation} P(z) = \xi P_1(z) + P_2(z) \end{equation} las raíces de la $P_1$$P_2$?

En particular, si $P_1, P_2$ $P$ tiene entonces el mismo número de complejo de valores de las raíces, ¿bajo qué circunstancias se tiene (hasta un reetiquetado) \begin{equation} \min \{\mathrm{Im} \, z_1^{(k)}, \mathrm{Im} \, z_2^{(k)} \} \leq \, \mathrm{Im} \, z^{(k)} \leq \max \{\mathrm{Im} \, z_1^{(k)}, \mathrm{Im} \, z_2^{(k)} \} \end{equation} para todos los $k$, y para todos los $\xi \in [0,\infty)$?

Ejemplo: Deje $P_1(z) = z (z^2 + 1)$$P_2(z) = z^2 + r^2$. El polinomio $P(z) = \xi P_1(z) + P_2(z)$ satisface la anterior propiedad dada $r\leq 1$.

Answer 1

Una manera de abordar esto es vinculado a las raíces de su polinomio en términos del polinomio de coeficientes (que, en cambio, se comportan muy bien en virtud de la adición):

Deje $(K, \vert \cdot \vert)$ ser un valioso campo y dejar $$f(X) = X^d +a_1 X^{d-1}+ \ldots + a_d = (X-b_1)(X-b_2)\cdots(X-b_d)$$ ser un polinomio, donde $a_1,\ldots, a_d,b_1,\ldots,b_d \in K$. Deje $C=2$ si el valor absoluto es de arquímedes y deje $C=1$ si el valor absoluto no es de arquímedes. Entonces $$C^{-d} \vert f \vert \leq \prod_{i=1}^d \max\{\vert b_i \vert, 1\} \leq C^d \vert f \vert.$$

(La prueba es por inducción sobre $d$.) En particular, esto le da a los límites en los valores absolutos de las raíces (por encima y por debajo) en términos de los coeficientes de $f$. Mediante la adición de dos polinomios $f$$g$, podemos obtener rápidamente los límites de las raíces de su suma (simplemente mediante la sustitución de $\vert f \vert$$\vert f+g \vert$).