Diagonalización simultánea

Question

Estoy bastante seguro de que la siguiente (si es verdad) es un estándar de resultados en álgebra lineal, pero por desgracia no pude encontrar en ningún lado y peor aún soy demasiado tonto para demostrarlo: Vamos a $k$ ser un campo, vamos a $V$ ser finito-dimensional $k$-espacio vectorial y deje $S \subseteq \mathrm{End}_k(V)$ ser un subconjunto de pares de trayecto (es decir,$\lbrack S, S \rbrack = 0$) endomorphisms. A continuación, el siguiente se tiene:

1. Si todos los $f \in S$ es diagonalizable, entonces no existen mapas $\chi_i:S \rightarrow k$, $i=1,\ldots,r$, tal que $V = \bigoplus_{i=1}^r E_{\chi_i}(S)$ donde $E_\chi(S) := \lbrace v \in V \mid fv = \chi(f)v \ \forall \ f \in S \rbrace$.

2. Los mapas de $\chi_i$ en 1 son únicos.

3. 1 es equivalente a la existencia de una base $\mathcal{B}$ $V$ tal que para cada una de las $f \in S$ la matriz $M_{\mathcal{B}}(f)$ $f$ con respecto al $\mathcal{B}$ es diagonal. (Creo que esto podría no ser cierto)

4. Si todos los $f \in S$ son trigonalizable, entonces existe una base $\mathcal{B}$ $V$ tal que para cada una de las $f \in S$ la matriz $M_{\mathcal{B}}(f)$ $f$ con respecto al $\mathcal{B}$ es triangular superior y para cada diagonalizable $f \in S$ la matriz $M_{\mathcal{B}}(f)$ es diagonal.

Sé que un conjunto de desplazamientos diagonalizable endomorphisms puede ser al mismo tiempo diagonalized en el sentido de 3, pero no sé cómo demostrar a 1 (mi problema es el "pegado" de la $\chi$-mapas cuando trato de demostrar mediante la inducción en $\mathrm{dim}V$). Además, sé que la primera parte de 4, la simultánea trigonalization, sostiene, pero no sé cómo demostrar que existe una base que luego también diagonalizes todos diagonalizable endomorphisms. Esto debe seguir a partir de 1, creo.

Tal vez, porque todo esto es probablemente el estándar de cosas, debo mencionar que esta no es una tarea problema :)

Una pregunta más: Supongamos que $k$ es algebraicamente cerrado y que $G$ es un afín conmutativa algebraicas grupo de más de $k$, lo que coincide con su semisimple parte, incrustado como un subgrupo cerrado en algunos $GL(V)$. Son los mapas $\chi_i:G \rightarrow \mathbb{G}_{m}$ morfismos algebraico de los grupos?

Answer 1

Todo esto es verdad. En primer lugar observamos que el espacio de endomorphisms de $V$ es finito-dimensional, por lo que incluso un infinito $S$ sólo puede ser reemplazado por un número finito de matrices que tienen el mismo lapso (realmente es más elegante a pensar acerca de la duración de $S$ como una Mentira álgebra, en lugar de $S$ sí). En realidad puede que desee ver en algunos de discusión de abelian álgebras de Lie, ya que realmente tu pregunta es acerca de la estructura natural teorema de semi-simples representaciones de abelian álgebras de Lie (si usted piensa que en esta lengua la pregunta 4) es evidente a partir de los 3 primeros, ya que cualquier representación tiene una bandera cuyos sucesivos cocientes son semi-simple).

El punto importante para demostrar 1) es que si a y B conmutan y son tanto diagonalizable, usted debe analizar la acción de B sobre los subespacios propios de A. Los espacios de $E_\chi$ arriba son los subespacios propios de B acción en cada subespacio propio de Una (y de si hubo una tercera matriz, la que se llevaría los subespacios propios de C que actúa sobre los subespacios propios de B en los subespacios propios de A, etc.). 2) es claro, y 3) elija cualquier base de estos iterada subespacios propios.

Para 3) => 1), se han asociado a cada base de vectores $\chi$, dado por mirar cómo los elementos de la $S$ act. $E_\chi$ es el periodo de todos los vectores asociados a la mapa particular $\chi$.

Para 4), no es un argumento similar, pero usted tiene que utilizar una bandera (la $i$-th subespacio cosas asesinado por $(A-\lambda I)^i$ para algunos escalares $\lambda$) en lugar de un subespacio de descomposición. Aún así, las matrices que conmutan significa que B va a conservar este indicador, así como un refinado de los subespacios propios, uno puede refinar este indicador.

Answer 2

Y la respuesta a la pregunta adicional (que Ben saltó) también es positiva. De hecho, hay dos partes aquí:

1. $\chi_i$ Es un grupo de morfismo (esto es obvio para cualquier subgrupo$G\subset GL(V)$

2. $\chi_i$ Es algebraico (esto es obvio porque los elementos matriciales de las matrices en$GL(V)$ en cualquier base son funciones algebraicas por razones tautológicas).

Answer 3

Hola Arminio, Para la parte (1) creo que estás preguntando que si dos diagonalizable matrices conmutan, entonces tienen la misma subespacios propios (aka son simultáneamente diagonalizable). Creo que esto es verdad si todos los autovalores distintos:

Deje $D$ ser diagonal con distintas entradas, entonces si conmuta con $A$:

$AD$ = $DA$

en el lado izquierdo de la ecuación, todas las columnas de a $A$ son escaladas por diferentes factores. En la CARTA de las columnas son a escala. La única manera de reconciliar esto es si $A$ es diagonal.

Espero que esto ayude.