Convergencia de una recurrencia

Question

Dada la definición recursiva (a partir de un número entero positivo) $$ a_n = \frac{a_{n-1}}{2}+4 $$ Estoy tratando de encontrar una forma explícita y demostrar que los enfoques de 8. Así que empecé por escrito, comenzando con un valor arbitrario $a_1$, y una manera de escribir esto es $$ \begin{matrix} \frac{\frac{\frac{a_1}{2}+4 }{2}+4}{2}+4 & \\ & \ddots \end{de la matriz} $$ o escribir plazo por el término que podría tener $$ \begin{matrix} \frac{a_1}{2}+4 \\ \frac{a_1}{4}+6 \\ \frac{a_1}{8}+7 \\ \frac{a_1}{16}+7.5 \\ \frac{a_1}{32}+7.75 \\ \end{de la matriz} $$ A partir del patrón parece que una fórmula explícita para la $k^{th}$ plazo sería $$ a_k = \frac{a_1}{2^k} + \left(8 - \frac{4}{2^{k-1}}\right) $$ que podríamos reescribir como $$ a_k = 8 + \frac{a_1-8}{2^{k}} $$ y, a continuación, mostrar la convergencia es justo $$ \lim_{k \rightarrow \infty} \left[ 8 + \frac{a_1-8}{2^{k}} \right]= 8 $$ Esto parece funcionar, pero yo simplemente buscaba un patrón y supuso la fórmula explícita. Mi pregunta es si hay una forma directa de obtener a partir de la definición recursiva a la explícita.

Answer 1

Tenemos$$ a_{n+1}-a_n = \frac{1}{2}\left(a_n-a_{n-1}\right) $ $ then$\{a_n\}_{n\geq 0}$ es una secuencia de Cauchy y$a_n\to L$. Tal$L$ tiene que cumplir$$ L = \frac{L}{2}+4 $ $ then$L=\color{red}{8}$.

Answer 2

Para la representación ((asub1 / 2 4) / 2 4), establezca que igual a asubn = k cuando n se acerca al infinito. Entonces, considere que una iteración menos (asubn-1) también se aproxima a k cuando n se acerca al infinito. Así, k / 2 4 = k, por lo que k = 8.

Answer 3

SUGERENCIA: una forma más directa de mostrar la convergencia de$a_n$ es

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Si$a_{n+1} = \frac{a_n}{2} + 4 = \frac{a_n+8}{2}$, entonces$8<a_0$

Si$8<\frac{a_n+8}{2}<a_n$, entonces$a_0<8$

¿Ves cómo convertir esto en la función de cómo rápidamente$a_n<\frac{a_n+8}{2}<8$ converge?

Answer 4

Esto se puede resolver con cuadráticas:

$$a_n=\frac{a_{n-1}}2+4\implies 2a_n-a_{n-1}-8=0\implies$$

Esta secuencia no es homogeneosu, por lo que podemos hacer:

$$2a-a-8=0\implies a=8\implies 2(a_n-8)-(a_{n-1}-8)=0$$

y ahora ponemos a $\;A_n:=a_n-8\;$ para obtener una homogéneo que puede ser resuelto por medio de su cuadrática ecuación característica:

$$2A_n-A_{n-1}=0\implies 2r^2-r=0\implies r=0,\frac12\implies$$

la solución general es $\;A_n=B\cdot 0^n+C\cdot\cfrac1{2^n}=\cfrac1{2^n}C\;$

Supongamos ahora que $\;A_0=K\implies \cfrac1{2^0}C=K\implies C=K\;$ , y por lo tanto nuestra secuencia es $\;A_n=\frac K{2^n}\;$, y volviendo a nuestro original:

$$a_n=A_n+8=\frac K{2^n}+8\xrightarrow[n\to\infty]{}8$$

Observar por favor que $\;K=A_0=a_0-8\implies a_0=K+8\;$ , pero este primer elemento es sólo importante en este caso para obtener el límite final.

Answer 5

Truco simple, si va a converger en algo, entonces debemos tener$\lim_{n→\infty}(a_{n+1}=a_n)$ ie la definición de convergente