Comprensión de las matrices de rotación

Question

1. ¿Cómo es que $ { \sqrt 2 \over 2} = \cos (45^ \circ )$ ?

2. ¿Es mi gráfico (el que está debajo del original) exacto con la representación del triángulo que la función trigonométrica representa? Lo que quiero decir es que el triángulo azul es el bloque pre-rotado, el verde es el bloque post-rotado, y el púrpura es el cambio rotado ( $45^ \circ $ ) entre ellos.

3. ¿Cómo es que estas funciones de disparo en esta matriz representan una rotación en el sentido de las agujas del reloj? (Como, ¿por qué " $- \sin \theta $ " en la parte inferior izquierda significa rotación en el sentido de las agujas del reloj... y " $- \sin \theta $ "en la parte superior derecha significa en sentido contrario a las agujas del reloj? ¿Por qué no? $- \cos \theta $ "? $$ \begin {bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta & \cos \theta \end {bmatrix}$$

¡Cualquier ayuda para entender las representaciones de los trigones de una rotación sería extremadamente útil! Gracias

Answer 1

Aquí hay una "pequeña" adición a la respuesta de @rschwieb :

Imagina que tienes la siguiente matriz de rotación:

$$ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] $$

Al principio se podría pensar que se trata de otra matriz de identidad. Pues bien, sí y no. Esta matriz puede representar una rotación alrededor de los tres ejes en el espacio euclidiano 3D con... cero grados . Esto significa que no se ha producido ninguna rotación alrededor de ninguno de los ejes.

Como sabemos $\cos(0) = 1$ y $\sin(0) = 0$ .

Cada columna de una matriz de rotación representa uno de los ejes del espacio en el que se aplica por lo que si tenemos 2D la matriz de rotación por defecto (es decir, no se ha producido ninguna rotación) es

$$ \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right] $$

Cada columna de una matriz de rotación representa el estado del eje respectivo, por lo que tenemos aquí lo siguiente:

$$ \left[ \begin{array}{c|c} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right] $$

La primera columna representa el x y el segundo - el y eje. Para el caso 3D tenemos:

$$ \left[ \begin{array}{c|c|c} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] $$

Aquí estamos utilizando la base canónica para cada espacio, es decir, estamos utilizando el vectores unitarios para representar cada uno de los 2 o 3 ejes.

Normalmente soy partidario de explicar estas cosas en 2D, pero en 3D es mucho más fácil ver lo que ocurre. Cada vez que queremos rotar alrededor de un eje, básicamente estamos diciendo "El eje alrededor del cual estamos rotando es el ancla y NO va a cambiar. Sin embargo, los otros dos ejes sí lo harán".

Si empezamos con el estado "no ha habido rotación"

$$ \left[ \begin{array}{c|c|c} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] $$

y quiere girar alrededor de - digamos - el x eje que haremos

$$ \left[ \begin{array}{c|c|c} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos(\theta) & -\sin(\theta)\\ 0 & \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{array} \right] . \left[ \begin{array}{c|c|c} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c|c|c} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos(\theta) & -\sin(\theta)\\ 0 & \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{array} \right] $$

Lo que esto significa es:

• El estado de la eje x permanece sin cambios - hemos comenzado con un estado de no rotación por lo que el eje x mantendrá su estado original - el vector unitario $\left[\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right]$
• El estado de la ejes y y z ha cambiado: en lugar del original $\left[\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right]$ (para y) y $\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right]$ (para z) tenemos ahora $\left[\begin{array}{c}0\\\cos(\theta)\\\sin(\theta)\end{array}\right]$ (para la nueva orientación de y) y $\left[\begin{array}{c}0\\-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\end{array}\right]$ (para la nueva orientación de z).

Podemos seguir aplicando rotaciones alrededor de este y aquel eje y cada vez ocurrirá esto - el eje alrededor del cual estamos rotando permanece como estaba en el paso anterior y el resto de los ejes cambian en consecuencia.

Ahora cuando se trata de 2D tenemos $$ R(\theta) = \left[ \begin{array}{c|c} \cos(\theta) & -\sin(\theta)\\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{array} \right] $$

para la rotación en sentido contrario a las agujas del reloj y

$$ R(-\theta) = \left[ \begin{array}{c|c} \cos(\theta) & \sin(\theta)\\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{array} \right] $$

para girar en el sentido de las agujas del reloj. Observa que ambos vectores columna son diferentes. Esto se debe a que en 2D ninguno de los dos ejes permanece inactivo y ambos necesitan cambiar para crear una rotación. Por eso también la versión 3D tiene dos de los tres ejes que cambian simultáneamente - porque es sólo una derivada de su versión 2D.

Cuando se trata de girar en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario a las agujas del reloj, siempre se puede utilizar el regla de la izquierda o de la derecha :

1. Utiliza tu mano derecha o izquierda para determinar los ejes:

2. Vea cuál es el sentido de las agujas del reloj y cuál es el sentido contrario. En la imagen de abajo el cuatro puntas de los dedos que van directamente a la palma de la mano siempre punto a lo largo de la dirección de rotación ( regla de la mano derecha ):

Una vez que elijas una de las dos manos, quédate con ella y úsala hasta el final de la tarea específica, de lo contrario los resultados probablemente terminarán arruinados. Obsérvese también que esta regla puede aplicarse también a 2D . Sólo hay que quitar (pero no cortar) el dedo que apunta a lo largo del z (o cualquier dimensión de las tres que no necesites) y haz lo tuyo.

Un par de debe saber cosas:

1. La multiplicación de matrices no suele ser conmutativa, lo que significa que $A.B \ne B.A$

2. El orden de rotación está determinado por el orden de multiplicación (debido a 1)) - hay un montón de convenciones de rotación (RPY (roll,pitch and yaw), ángulos de Euler, etc.) por lo que es importante saber cuál está utilizando. Si no estás seguro, escoge una y quédate con ella (es mejor tener un error consistente que 10 errores diferentes que no puedes seguir) (ver aquí para obtener información compacta sobre este tema)

3. La inversa de una matriz de rotación gira en la dirección opuesta - si por ejemplo $R_{x,90}$ es una rotación alrededor del eje x con +90 grados la inversa hará $R_{x,-90}$ . Además, las matrices de rotación son increíbles porque $A^{-1} = A^t$ es decir, la inversa es la misma que la transposición

Answer 2

Toda la trigonometría quedará clara si se examina lo que ocurre con los puntos $(1,0)$ y $(0,1)$ bajo estas transformaciones. Después de que se hayan movido, deja caer una perpendicular verticalmente y una línea por el origen y considera el triángulo formado. Serán triángulos (a veces degenerados) con hipotenusa 1 y entonces verás por qué cada uno de sus catetos tiene medida $\sin(\phi)$ o $\cos(\phi)$ etc.

Esto es lo que quiero decir: después de un $\pi/6$ rotación en sentido contrario a las agujas del reloj, el punto $(1,0)$ se ha trasladado a $(\sqrt{3}/2,1/2)$ . Este punto, además de $(0,0)$ y el punto directamente debajo de él en el $x$ eje, $(\sqrt{3}/2,0$ forman un triángulo rectángulo con hipotenusa $1$ . Observa las longitudes de los lados cortos del triángulo. Intenta hacer lo mismo con un ángulo $\phi$ entre 0 y $\pi/2$ y analizar cuáles deben ser los lados del triángulo en términos de $\sin(\phi)$ y $\cos(\phi)$ .

Dado que una rotación en el plano está totalmente determinada por cómo se mueven los puntos del círculo unitario, esto es todo lo que tienes que entender.

En realidad no se necesita una representación para ambos en el sentido de las agujas del reloj y en sentido contrario. Se puede utilizar la de sentido contrario a las agujas del reloj todo el tiempo, si se está de acuerdo en que una rotación en sentido de las agujas del reloj sería una rotación negativa en sentido contrario a las agujas del reloj. Es decir, si quieres realizar una rotación en el sentido de las agujas del reloj de $\pi/4$ radianes, entonces debe utilizar $\phi=-\pi/4$ en la representación de la rotación en sentido contrario a las agujas del reloj.

El hecho de que $\sin(-\phi)=-\sin(\phi)$ explica el cambio de signo del seno entre las dos representaciones, y el hecho de que el $\cos(\phi)$ no cambia es porque $\cos(-\phi)=\cos(\phi)$ . También puede elegir el esquema de representación en sentido contrario a las agujas del reloj, y realizar ambos rotaciones en el sentido de las agujas del reloj y en sentido contrario con él.

---

Para proporcionar alguna evidencia extra de que tiene sentido que sean matrices de rotación, puedes comprobar que las columnas de estas matrices siempre tienen longitud euclidiana 1 (aplicación fácil de la $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ identidad). Además, son ortogonales entre sí. Esto significa que son matrices ortogonales y, por tanto, representan rotaciones. Satisfacen $UU^T=U^TU=I_2$ . Esto demuestra que $U^T=U^{-1}$ y ahora te darás cuenta de que la transposición de la representación en sentido contrario a las agujas del reloj te da la representación en sentido de las agujas del reloj. Por supuesto, girando en el sentido de las agujas del reloj y girando en sentido contrario a las agujas del reloj por $\phi$ Los radianes son operaciones inversas.