¿La rápida decadencia de los coeficientes de Fourier implica suavidad?

Question

Bajo el isomorfismo de los espacios de Hilbert$L^2(S^1)\to\ell^2(\mathbb Z),\quad e^{2\pi i n t}\mapsto e_n$, las funciones suaves en el círculo se correlacionan con secuencias rápidamente en descomposición (ver wikipedia ).

¿También es cierto lo contrario? Es decir, ¿cada secuencia de decaimiento rápido en$\ell^2(\mathbb Z)$ representa una función suave?

Motivación: Para ciertos argumentos, sería realmente agradable leer la suavidad de los coeficientes de Fourier.

Answer 1

Sí. La suavidad es equivalente a la de los coeficientes de Fourier formando una secuencia que se desintegra rápidamente (más rápido que cualquier polinomio). Para ver la dirección que le pidieron, tenga en cuenta que si $\{c_n\}$ es una rápida descomposición de la secuencia, entonces la suma de $\sum c_n e^{in x}$ convergen uniformemente como todos los derivados. Por lo que la suma representan una función suave. (Continua analógica de esto es que la transformada de Fourier induce un isomorfismo del espacio de Schwartz sobre sí mismo.)

En general, se pueden utilizar los coeficientes de Fourier para dar una $L^2$ definición de la diferenciabilidad. Moralmente, una función debe ser $C^k$ si sus coeficientes de Fourier de la caries como $|n|^{-k}$. Esto no es muy exacto, pero se puede utilizar esta opción para definir los espacios de Sobolev en el círculo (de forma más general en el toro, o el uso de la transformada de Fourier en el espacio euclidiano, y por un proceso de extensión compactas colectores) que describen cómo muchos de los "débiles" derivados de una función. Este tipo de argumento muestra que el $L^2$ la diferenciabilidad es comparable con la normal de la diferenciabilidad y el uso de estos espacios de Sobolev resulta ser integral cuando uno intenta demostrar de límites explícitos acerca de cosas tales como la elíptica regularidad. Allí, trabajando con los coeficientes de Fourier (o transforma) y un operador de multiplicación es significativamente más fácil que trabajar en la función original espacio con la consecuencia más complicado diferencial operador. (Estoy usando el hecho de que la constante de coeficiente de operadores diferenciales corresponden en virtud de la transformada de Fourier de la multiplicación por un polinomio.)