Si $n$ es un $\underline{\text{integer}}$ > 7, demuestre que $\big(^n_7\big) - { \begin{bmatrix}{\frac {n}{7}} \end{bmatrix} }$ es divisible por $7$ .

Question

$\big(^n_7\big)$ denota el número de maneras de elegir $7$ objetos de entre $n$ objetos.

Para un número real $n , [n]$ denota el mayor número entero no superior a x.

Mi intento :

He simplificado $\big(^n_7\big)$ como $\frac {\prod_{j=0}^{6} {(n-j)}} {7!} $ .

Para ${ \begin{bmatrix}{\frac {n}{7}} \end{bmatrix} }$ lo único que pude deducir es que si $n=7k+m $ donde $(k,m) \in N$ y $m < 7$ , ${ \begin{bmatrix}{\frac {n}{7}} \end{bmatrix} }$ sería igual a $k$ .

¿Cómo debo proceder? ¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Escriba a $n=7k+i$ donde $i\in\{0,1,\ldots,6\}$ .

Lo has hecho: $$\begin{align} \binom{n}{7}&=\frac{(7k+i)(7k+i-1)\cdots(7k+i-6)}{7\cdot6\cdot\cdots\cdot1}\\ &=k\cdot\overbrace{(7k+i)(7k+i-1)\cdots(7k+i-6)}^{\text{remove the factor }7k+i-i}\cdot\frac{1}{6\cdot5\cdot\cdots\cdot1}\\ &\equiv k\mod{7} \end{align}$$

ya que los seis factores restantes entre paréntesis tienen residuos $\{1,2,\ldots,6\}$ anulando exactamente los factores restantes en el denominador cuando se pasa a mod $7$ aritmético.

Pero también, $$\begin{bmatrix}{\dfrac {n}{7}} \end{bmatrix}=k$$ Así que $$\binom{n}{7}\equiv\begin{bmatrix}{\dfrac {n}{7}} \end{bmatrix}\mod{7}$$ y por lo tanto $7$ divide su diferencia.