Ramanujan estilo anidado Ecuación diferencial

Question

Así que yo estaba explorando algunos de matemáticas el otro día... y me encontré con la siguiente cuidada identidad:

Dado $y$ es una función de $x$ ($y(x)$) y $$y = 1 + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(1 + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(1 + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(1 + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(1 + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \cdots \right) \right) \right) \right) \right) \text{ (repetición diferencial)}$$

entonces podemos resolver esta ecuación de la siguiente manera: $$y - 1 = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(1 + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \cdots \right) \right) \ffi \int y - 1 \, \mathrm{d} x = 1 + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( 1 + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \cdots \right) \right)$$ $$\implica \int y - 1 \, \mathrm{d} x = y \iff y - 1 = \frac{\mathrm{d} y }{ \mathrm{d} x}$$

Así

$$\ln \left( y - 1 \right) = x + C \iff y = Ce^x + 1$$

Este problema me recordó mucho de las expresiones radicales, tales como: $$x = 1 + \sqrt{1 + \sqrt{ 1 + \sqrt{ \cdots }}} \iff x - 1 = \sqrt{1 + \sqrt{ 1 + \sqrt{ \cdots }}}$$ $$\implica (x - 1)^2 = x \iff x^2 - 3x + 1 = 0$$

y así

$$x = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$

Esto recuerda a la Ramanujan anidada radical que es:

$$x = 0 + \sqrt{ 1 + 2 \sqrt{ 1 + 3 \sqrt{1 + 4 \sqrt{ \cdots }}}}$$

cuya solución no puede ser hecho por una simple serie de manipulaciones, sino que requiere el conocimiento de fórmula general encontrada por manipular algebraicamente el teorema del binomio...

Esto me hizo curioso...

decir $y$ es una función de $x$ ($y(x)$) y

$$y = 0 + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(1 + 2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(1 + 3\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(1 + 4\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(1 + 5\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \cdots \right) \right) \right) \right) \right)$$

¿Cuál sería la solución que vienen a ser?

Answer 1

Si el operador está destinado a derivar lo que sigue, entonces tenemos $$y(x) = \lim_{n \to \infty} n! \cdot y^{(n)}(x) \qquad,\qquad \forall\ x \in X$$

puesto que la derivada de una constante es siempre $0$ , y la derivada de una suma es la suma de los derivados. Sin embargo, si la multiplicación se entiende, con la "última" término de la anidados producto presumiblemente ser otro que el de y(x), entonces tenemos $$y(x) = \sum_{n=1}^\infty n! \cdot y^{(n)}(x) \qquad,\qquad \forall\ x \in X$$

donde $y : X \to Y$ ; de cualquier manera, ya que $$\lim_{n \to \infty}n! = \infty$$ then, in order for the function to converge $\forall\ x \in X$ , we must have $$\lim_{n \to \infty} y^{(n)}(x) = 0 \quad,\quad \forall\ x \in X \quad=>\quad y(x)\ =\ P_m(x)\ =\ \sum_{k=0}^m a_k \cdot x^k \quad,\quad m \in \mathbb{N}$$

desde el N^th anidada integral de $0$ no es nada más que una función polinómica de grado N-$1$ .

Answer 2

De haber sido un poco más de tiempo pensé acerca de esto más!

Si reducimos a la original radical en un tiempo finito, tenemos (como se ha señalado por Aryabhata) tenemos

$$y = n!\frac{d^n}{dx^n}$$

Las soluciones a esto incluyen el $$y= C_1 e^{x\sqrt[n]{n!}_1} +C_2 e^{x\sqrt[n]{n!}_2}... C_n e^{x\sqrt[n]{n!}_n}$$

Para todas las posibles raíces enésimas de la unidad.

Ahora considere stirlings aproximación de n! que los estados

$$n! \le e n^{n + \frac{1}{2}} e^{-n}$$

(Tenga en cuenta que para $n \ge 0$ estas funciones son tanto mayor que o igual a 1), de ahí

$$|\sqrt[n]{n!}| \le |\sqrt[n]{e n^{n + \frac{1}{2}} e^{-n}} |$$

Que los rendimientos de

$$|\sqrt[n]{n!}| \le |\sqrt[n]{e n^{n + \frac{1}{2}} e^{-n}} |$$

Que los rendimientos:

$$|\sqrt[n]{n!}| \le |{e^{\frac{1}{n}} n^{1 + \frac{1}{2n}} e^{-1}} |$$

Que los rendimientos:

$$|\sqrt[n]{n!}| = O(n)$$

Como n tiende a infinito, por lo que lo hace.

Pero antes de que me tire a la basura cualquier esperanza para esto, me gustaría señalar que a medida que n se hace más grande, lo que hacemos básicamente es obtener una base para las funciones en términos de exponenciales complejas, tengo curiosidad por ver si hay una manera de recoger los constantes $C_i$ tal que para un n dado, puede crear un modelo de la función tan estrechamente como sea posible, y determinar, a continuación, en el límite de lo que el $C_i$ necesitan ser (probablemente muy degenerada constante a trozos funciones)

Si hay un esquema de este tipo, que puede ser muy bien que CUALQUIER función que satisface esta ecuación diferencial, suponiendo que el conjunto de exponenciales se acerca más y más a la formación de una base para todas las funciones (que en el límite cuando n tiende a infinito significa que de hecho forman una base). La parte difícil es definir, "qué bien" una base. Es decir, si no cubre todos los casos, ¿cómo podemos decir que cubre más de los casos, o relativamente más de los casos a la de su predecesor.