¿Qué hay de malo en mi "prueba" de que la medida de Lebesgue de $[0,1]$ es $0$ ?

Question

Propuesta. $\lambda [0,1] = 0$

Prueba. Dejemos que $\varepsilon>0$ sea arbitraria. Demostraremos que $\lambda[0,1] <\varepsilon$ . Sea $q : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ denotan una inyección con imagen igual a $\mathbb{Q} \cap [0,1]$ . Sea $p : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ denotan una secuencia con $\sum_{i \in \mathbb{N}} p_i < \varepsilon$ . Entonces $$\lambda [0,1] = \lambda \bigcup_{i \in \mathbb{N}} (q_i+[-p_i/2,p_i/2]) \leq \sum_{i \in \mathbb{N}} \lambda (q_i+[-p_i/2,p_i/2]) = \sum_{i\in \mathbb{N}} p_i < \varepsilon$$

Así que $\lambda[0,1] < \varepsilon$ . Como esto es cierto para todos los $\varepsilon>0$ deducimos que $$\lambda [0,1] = 0.$$

Pregunta. ¿Qué pasa?

Answer 1

Sí. El hecho de que (en su notación) $$ [0,1] \subset \bigcup_{j=1}^{\infty} (q_j - p_j/2,q_j+p_j/2) $$ es falso es un hecho clásico que hay que superar para empezar a entender la medida de Lebesgue.

Recogiendo $p_j = \epsilon/2^j$ , se demuestra exactamente que hay conjuntos abiertos que contienen $\mathbb{Q} \cap [0,1]$ con medida exterior de Lebesgue a lo sumo $\epsilon$ . (En particular son medibles y por lo tanto el complemento es medible con medida $> 1 - \epsilon$ Así que ciertamente no cubren $[0,1]$ ¡! )

Answer 2

Mirando otras respuestas y las discusiones en los comentarios aquí, parece que la cuestión clave aquí no se está manejando correctamente. Y la versión anterior de mi respuesta quizás no sea bien entendida por la comunidad. Lo que sigue es una versión actualizada con más explicaciones.

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Primero una explicación sobre la pregunta. La secuencia $q_{i}$ es la justa disposición de los números racionales de $[0, 1]$ en una secuencia particular (esto es posible porque los racionales forman un subconjunto contable). Correspondiendo a un determinado $\epsilon > 0$ otra secuencia $p_{i}$ de números reales positivos se elige de forma que $\sum_{i} p_{i} < \epsilon$ . OP ahora argumenta que desde el intervalo $[0, 1]$ está contenida en la unión $$\bigcup_{i = 1}^{\infty}[q_{i} - p_{i}/2, q_{i} + p_{i}/2]$$ por lo tanto su medida no es más que la suma de las longitudes de todos estos intervalos $[q_{i} - p_{i}/2, q_{i} + p_{i}/2]$ . Y así la medida de $[0, 1]$ es menor que $\epsilon$ y como $\epsilon$ era arbitrario esto significa que $[0, 1]$ tiene medida $0$ . Y OP sabe que ha cometido un error en alguna parte porque es sabido que la medida de $[0, 1]$ es $1$ .

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La mayoría de las respuestas intentan tratar esto de una manera pretenciosa diciendo que la prueba es incorrecta porque una secuencia de intervalos de longitud total $a$ no puede cubrir un intervalo de longitud $b$ si $a < b$ . Este hecho parece obvio / intuitivo pero una prueba adecuada depende de la naturaleza de los números reales y específicamente necesitamos algún teorema poderoso como el de Heine Borel para manejar esto. La misma afirmación es trivial de demostrar si la secuencia de intervalos considerada es finita . Es un error común en el análisis extender los argumentos finitarios a situaciones en las que se trata de infinito . La mayoría de las veces esto es posible, pero hay que justificarlo con un análisis más profundo porque en general no es cierto. Así, por ejemplo, los conjuntos finitos son siempre contables, pero hay conjuntos infinitos que son contables y también hay conjuntos infinitos que son incontables.

Otra cuestión es la relativa al conocimiento común de que la medida de $[0, 1]$ es $1$ . Este es el primer teorema fundamental de la teoría de la medida que, de nuevo, parece intuitivo/obvio, pero requiere el teorema de Heine Borel (o su equivalente) para su demostración.

Todas las respuestas coinciden en que el problema de la prueba del OP radica en su suposición $$[0, 1] \subseteq \bigcup_{i = 1}^{\infty}[q_{i} - p_{i}/2, q_{i} + p_{i}/2]\tag{1}$$ y sí esta ecuación es errónea pero esto no se puede demostrar utilizando la teoría de la medida y obteniendo una contradicción como ha hecho OP.

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Supongamos la ecuación $(1)$ y derivar una contradicción utilizando el Teorema de Borel de Heine. Dado que los intervalos $[q_{i} - p_{i}/2, q_{i} + p_{i}/2]$ en consideración son intervalos cerrados, puede parecer que Heine Borel no es aplicable. Pero esta cuestión es trivial de solucionar. Es evidente que podemos tener un problema sólo con los puntos límite $q_{i} - p_{i}/2, q_{i} + p_{i}/2$ y el problema sólo se producirá si el punto es irracional (los racionales ya están cubiertos por los intervalos de la ecuación $(1)$ ). Y esto es posible sólo cuando $p_{i}$ es irracional. Considere todos estos puntos del tipo $q_{i} - p_{i}/2, q_{i} + p_{i}/2$ donde $p_{i}$ es irracional. Estos puntos forman un conjunto contable y por lo tanto podemos tener un conjunto contable de puntos en $[0, 1]$ que no se encuentran en el interior de algún intervalo $[q_{i} - p_{i}/2, q_{i} + p_{i}/2]$ . Podemos cubrir estos puntos contables con una secuencia de intervalos abiertos cuya longitud total no supere $\epsilon$ . Esta nueva secuencia de intervalos junto con $(q_{i} - p_{i}/2, q_{i} + p_{i}/2)$ (nótese el uso de intervalos abiertos aquí) ahora forma un abrir la tapa para $[0, 1]$ y la longitud total de los intervalos en esta cubierta es inferior a $2\epsilon$ . Ahora podemos aplicar el Teorema de Borel de Heine para reducir esto a una cobertura finita para $[0, 1]$ y la longitud total de los intervalos incluidos en la cobertura finita es inferior a $2\epsilon$ . Obtenemos una contradicción evidente si $2\epsilon < 1$ . De ello se desprende que la suposición $(1)$ se equivoca. Y ese es el fallo de la prueba del OP.

Insto a los lectores a que echen un vistazo a un discusión similar donde el OP es lo suficientemente audaz como para mostrar que la medida de la línea real entera es $0$ .

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Answer 3

Asumiendo que $\sum_{i}p_i<\epsilon$ estás diciendo efectivamente que la suma de las longitudes del intervalo $[-p_i/2,p_i/2]$ es $\epsilon$ . En particular, para las pequeñas $\epsilon$ esta longitud es menor que $1$ y, por lo tanto, sus intervalos nunca cubrirán todos los $[0,1]$ .