Diferencia de asíntotas en el infinito

Question

Que $f(x)$ $g(x)$ ser dos funciones tales que $$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=1$ $ hace implican:

1. $\lim_{x\to\infty}\frac{g(x)}{f(x)}=1$
2. $\lim_{x\to\infty}\left(f(x)-g(x)\right)=0$

Me parece que ambas son verdaderas, pero la segunda es obviamente falsa: $$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x}\right)=1/2$$ but why? If both functions are basically the same far enough in the number line why does the limit not approach $$%0. No sé cómo dar una respuesta rigurosa (más ejemplos)

¿Las respuestas son diferentes en estos dos casos?

1. $\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty$
2. $f(x)$ y $g(x)$ son

Gracias

Answer 1

He aquí una sugerencia: tenga en cuenta que $$ f(x)-g(x) = \biggl(\frac{f(x)}{g(x)}-1\biggr)g(x) .$$ A continuación, veamos los dos factores en el lado derecho. La primera se aproxima a cero, por supuesto. Lo que podría suceder si el otro factor es limitada? No acotado?

Otro, menos riguroso, pero quizás más entretenida manera de verlo: Es la diferencia entre la relación de las diferencias y absoluto de las diferencias. Tome dos de las cinco personas más ricas del planeta. En términos relativos, que son aproximadamente igual de rico. Pero si yo podría tener la diferencia entre su absoluta riquezas, ciertamente podría retirarse el día de mañana. Lo que podría ser una pequeña diferencia para ellos es una gran diferencia para mí.

Answer 2

pista

$$\lim_{+\infty}\frac {f (x)}{g (x)}=1$$

es decir, $x $ grande

$$f (x)=g (x)(1+\epsilon (x)) $ $ $\epsilon (x)\to 0$ cuando $x\to +\infty$. así

$$f (x)-g (x)=g (x)\epsilon (x) $ $ Desde aquí, vemos que $$\lim_{+\infty}(f (x)-g (x)) $$ depends strongly on $\epsilon (x) $.

Answer 3

Tenga en cuenta que $f(x)-g(x)=f(x)\left(1-\frac{g(x)}{f(x)}\right)$. Aunque $\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{f(x)}{g(x)}\right)=0$, pero si $\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$, no podemos decir si $\left[f(x)\left(1-\frac{g(x)}{f(x)}\right)\right]$ tiende a $0$ o no.