Un casi integral de Fresnel

Question

Así que he intentado hacer la siguiente integral:

$$I=\int_0^{+\infty}\sin(2^x)\ dx$$

que es bastante similar a la famosa integral de Fresnel. En primer lugar, reescribí $\sin$ el uso de su complejo exponencial definición, entonces los dejo $u=2^x$:

$$I=\int_0^{+\infty}\frac{e^{i2^x}-e^{-i2^x}}{2i}\ dx=\frac1{2i\ln(2)}\int_1^{+\infty}\frac{e^{iu}-e^{-iu}}u\ du$$

(tan cerca de dejarme usar Frullani integral de $\ddot\frown$)

Pero ¿dónde puedo ir desde aquí? Se ve muy cerca de un lugar en el que podría utilizar la integral exponencial o algo así, pero no del todo...

Answer 1

Sugerencia. Uno puede realizar el cambio de variable u $$ = 2 ^ x, \quad \ln x = \frac1{\ln 2} u \cdot \ln, \quad dx = \frac1 {\ln 2} \cdot \frac{du}u, $$ dando $$ me = \int_0^ {+ \infty} \sin(2^x) \ dx = \frac1 {\ln 2}\cdot\int_1^{+\infty}\frac{\sin(u)} {u} \ du = \frac1 {\ln 2} \cdot\left (\frac {\pi} {2}-\text{Si}(1)\right) $$ where we have made use of the sine integral function $ \text{Si}(\cdot)$.

Answer 2

Si realiza este cambio de variable:

$$y = 2 ^ x \Rightarrow\begin{cases} x = \frac{\log(y)}{\log(2)}\\ dx = \frac{dy}{y \log(2)}\\ x = 0 \Rightarrow y = 1\\ x = +\infty \Rightarrow y = +\infty \end{casos}, $$

entonces se obtiene lo siguiente: $$\int_0^{+\infty} \sin(2^x)dx = \frac{1}{\log(2)} \int_1^{+\infty} \frac{\sin(y)}{y} dy = \frac{\text{Si}(+\infty) - \text{Si}(1)}{\log(2)},$ $

$\text{Si}(x)$ Dónde está el seno integral. Supongo que usted no puede hacer más que esto.