Un método muy general para demostrar las desigualdades. ¿Demasiado bueno para ser verdad?

Question

Actualización I 'reparado' este método, pero cambió mucho y tengo algunas preguntas diferentes, así que lo publicado por separado aquí.

Como la capacitación para la olimpiada, que tengo que resolver un montón de desigualdades. Recientemente, me encontré con un muy método general para resolver las desigualdades. Creo que es demasiado bueno para ser verdad, pero si es cierto, creo que una implementación del algoritmo en un programa de ordenador puede ser utilizado para probar rápidamente todo tipo de desigualdades.

En primer lugar, voy a explicar el método. A continuación, le voy a pedir a mis preguntas. En la parte inferior, me demostró una simple desigualdad usando mi método como una especie de demostración.

El método o algoritmo

Dicen que tenemos que demostrar una cierta desigualdad que se ve así: $$f(a,b,c\ldots)\ge g(a,b,c\ldots)$$ para todos los $a,b,c\ldots\in \Bbb{R}$. Aquí $a,b,c\ldots$ son simplemente de variables independientes. Hay sólo uno, no podría ser $21$. No importa.

En primer lugar, hemos de reorganizar: $$f(a,b,c\ldots)-g(a,b,c\ldots)\ge 0$$ Ahora, con el fin de demostrar nuestra desigualdad, tenemos que demostrar que el lado izquierdo tiene un valor mínimo y que el valor mínimo es mayor que o igual a $0$. Decir que la desigualdad es verdadera. Deje $a_0,b_0,c_0\ldots$ ser los valores de $a,b,c\ldots$ para que el lado izquierdo es mínima. Ahora, debemos tener: $$\frac{d\,(f-g)}{d\, a}(a_0,b_0,c_0\ldots)=0$$ porque de lo contrario, podemos aumentar o disminuir el $a$ y obtiene un valor más bajo para la LHS, contradiciendo nuestra definición de $a_0$. De hecho, tenemos: \begin{align*} \frac{d\,(f-g)}{d\,a}(a_0,b_0,c_0\ldots) &= 0\\ \frac{d\,(f-g)}{d\,b}(a_0,b_0,c_0\ldots) &= 0\\ \frac{d\,(f-g)}{d\,c}(a_0,b_0,c_0\ldots) &= 0\\ &\vdots \end{align*} Así que tengamos tantas ecuaciones como variables. Ahora tenemos un buen sistema de ecuaciones para trabajar con. Hay tres opciones.

1. El sistema no tiene soluciones. Esto significa un mínimo no existe y la desigualdad no se mantiene para todos los valores de $a,b,c\ldots$.
2. El sistema tiene exactamente una solución. Si sustituimos esto en y también algunos otros valores aleatorios para $a,b,v\ldots$, podemos ver si es un máximo o un mínimo. Si es un máximo, no hay mínimos, debido a que el sistema sólo había una solución. Si se trata de un mínimo, simplemente enchufe en los valores para comprobar si la desigualdad se cumple. Si lo hace, tiene para todos los $a,b,c\ldots\in\Bbb{R}$.
3. El sistema tiene infinidad de soluciones. En este caso, podemos expresar estas soluciones con menos variables que hemos tenido en la desigualdad original. Conectar las soluciones da una nueva desigualdad con menos variables, por lo que si volvemos a repetir el proceso, hemos llegado a obtener un sistema de primer o segundo tipo o una desigualdad con sólo una variable, y que generalmente son bastante fáciles de resolver.

Preguntas

Tengo dos preguntas.

1. ¿El método teóricamente el trabajo? Yo creo que sí, pero podría haber algo que me perdí. Como he dicho antes, parece demasiado bueno para ser verdad.
2. Si funciona, ¿por qué no la gente usa lo que a menudo? Entiendo que las pruebas usando cosas como AM-GM-HM son más cortos, pero este método está garantizado para trabajar. También da una prueba plena o de hormigón contraejemplo.

Ejemplo

Demostrar que para todos los $a,b,c\in\mathbb{R}$, tenemos: $$ab+bc+ca+a-c\le 1+\frac13(a+b+c)^2$$ Prueba: en Primer lugar, reorganizar: $$1+\frac13(a+b+c)^2-ab-bc-ca-a+c\ge 0$$ Ahora, tomar las derivadas con respecto a $a$, $b$ y $c$ y el conjunto de ellos igual a $0$: \begin{align*} \frac23(a+b+c)-b-c-1&=0\\ \frac23(a+b+c) -a-c&= 0\\ \frac23(a+b+c) - b - c + 1 &= 0 \end{align*} Algunos de álgebra para darnos un mejor sistema: \begin{align*} b+c+3 &= 2a\\ a+c &= 2b\\ b+c-3 &= 2c \end{align*} Por lo $c = 2b-a$. Enchufarlo en la primera ecuación, se obtiene: \begin{align*} b + 2b - a + 3&= 2a\\ 3b + 3 &= 3a\\ b &= a-1 \end{align*} el taponamiento de que en la tercera ecuación se obtiene: \begin{align*} a-1+c-3&=2c\\ a-2 &= c \end{align*} y esa es la solución a nuestro sistema; $b=a-1$, $c=a-2$. Conectando en el original de la desigualdad, se obtiene: \begin{align*} ab+bc+ca+a-c &\le 1+\frac13(a+b+c)^2\\ a(a-1) + (a-1)(a-2) + (a-2)a + a - (a-2) &\le 1+ \frac13(3a-3)^2\\ a^2 - a + a^2 - 3a + 2 + a^2-2a + 2 &\le 1+\frac13(9a^2-18a+9)\\ 3a^2 - 6a + 4 &\le 1 + 3a^2 - 6a + 3\\ 3a^2 -6a + 4 &\le 3a^2 -6a + 4 \end{align*} Que siempre de titular, y por lo tanto la desigualdad original es siempre. Q. E. D.

Answer 1

En realidad, este es un enfoque para hacer las desigualdades, y a veces se la utiliza. Pero hay algunas advertencias que debe prestarse atención a:

1. No es siempre el caso de que las personas con múltiples variables son funciones diferenciables en todos los puntos que usted está interesado en. (Y, en algunos casos, la función es derivable en un.e., pero la función es tan extraño que su derivada no contiene demasiada información acerca de la función de la variación - esto es raro, aunque, por lo general aumenta en teoría pero no en la práctica, los casos de uso.)

2. Incluso si 1 es cierto, a veces no es fácil conseguir la diferenciación de la función - que podría ser difícil de calcular valores diferenciales en ciertos puntos, o el derivado es muy implican para la función expresada en anidados combinaciones de primaria operaciones/funciones, o la derivada no puede ser en forma cerrada si la función no es elemental, etc. (Además, si la diferenciación se encuentra en una forma complicada, también es difícil para resolver las ecuaciones de los cuales derivados igual a cero.)

3. Incluso si 2 es cierto, no se garantiza que el punto que se obtiene al tener de primer orden en derivadas parciales igualando a cero es local mínimo/máximo, que acaba de tener un punto de silla - así de segundo orden derivados de la necesidad de ser marcada (observe también que no hay ninguna garantía de que los de segundo orden derivados de existir)

4. Incluso si 3 es cierto, todavía no se puede estar seguro de que el local máximo/mínimo es global máximo/mínimo - por ejemplo, podría ser posible que los puntos en la frontera son más grandes que los locales en el punto de máxima que usted consigue. A fin de comprobar más antes de la conclusión final - por ejemplo, a la hora de encontrar el máximo global, comparar todos los locales de el máximo de puntos (si hay alguna), compare todos los puntos en el límite (si existe alguna), y también la función de la comprobación del comportamiento a medida que se aproxima a infinito (si es aplicable), y así sucesivamente.

Answer 2

La respuesta por @yujie-zha pierde un par de puntos importantes, así que permítanme elaborar sobre esto.

Felicitaciones, usted ha redescubierto un conocido teorema que a veces se llama en Francia "principe de Fermat," compartir el mismo nombre que un reflejo de la ley en la óptica y de la observación según la cual no es estrictamente disminución de la secuencia de números positivos. Pierre de Fermat fue un matemático francés que viven en el siglo 17.

Su análisis abarca una gran cantidad de útiles de los casos, pero tiene dos defectos importantes:

1. Un punto donde la cantidad de $F = f - g$ alcanza su mínimo no necesita para existir. Un simple ejemplo es proporcionado por $1/x$$x\gt0$.

2. Si tal existe un punto, la geometría del conjunto donde el mínimo de $F$ se realiza puede ser arbitrariamente complicado, por lo que incluso si se tiene un número infinito de puntos, no tiene que ser tan agradable que usted realmente puede eliminar una variable. Funciones de $F$ que permiten eliminar las variables se llama inundaciones. Además, encontrar ese punto puede ser impracticable.

Con respecto a 1, una hipótesis común que garantiza que el mínimo es en realidad dado cuenta es cuando la función de $F$ estudio es continua y definida sobre un dominio compacto. Esto puede no decir mucho por ahora, pero usted puede darse cuenta de lo que sucede si se intenta construir una función siempre es positiva en la recta real, pero cuyo mínimo "huye hacia el infinito" – una manera coloquial de decir que es asintóticamente a cero, si ya estás familiarizado con estos términos.

Con respecto a 2, por el teorema de Borel establece que cualquier subconjunto cerrado de un espacio euclidiano es el cero, el locus de una función suave. Esto también, probablemente, no dice mucho, pero se puede tratar de encontrar funciones $F$ que son positivos, en todas partes diferenciables sobre la recta real y cuya cero locus es:

• El conjunto de los números enteros.
• El conjunto de los inversos de los números enteros, a la que añadimos el punto de $0$.
• El segmento de $[-1,1]$.
• El conjunto de Cantor (si lo saben).

También puede buscar ejemplos similares en dimensiones superiores.

Pero aparte de esto, el método que se sugieren en realidad funciona, pero pasa a no ser tan fácil de usar como usted parece creer. Otras fuentes comunes de desigualdad son funciones convexas, esp. La desigualdad de Jensen, la de Cauchy-Schwarz o de Cauchy-Bouniakovski la desigualdad, y el módulo de un holomorphic función.

Answer 3

Hay algunos problemas con este método.

1. En primer lugar, no está claro si usted está tratando de resolver una desigualdad o demostrar una desigualdad. No son la misma cosa: Demostrar una desigualdad implica mostrar que es verdadera para todos los valores de las variables (como por ejemplo en la desigualdad de $(x+y)^2 \ge 4xy$), mientras que la solución de una desigualdad significa encontrar los valores de las variables para las que la desigualdad es verdadera (como por ejemplo en la desigualdad de $x^2 - 1 < 2x$, lo cual es cierto para $x \in (1-\sqrt{2},1+\sqrt{2})$.

Por supuesto, se podría argumentar que parte de la solución de una desigualdad implica siempre una prueba, pero aún así, es importante saber si usted está tratando de mostrar que una determinada desigualdad se cumple para todos los valores de la variable(s), o si se cumple para algunos valores de la variable(s).

2. Usted escribe:

Ahora, con el fin de demostrar nuestra desigualdad, tenemos que demostrar que el lado izquierdo tiene un valor mínimo y que el valor mínimo es mayor que o igual a 0

Esto no es cierto. Para un simple contraejemplo, considerar la desigualdad de $e^{-x}>-2$, que es definitivamente cierto para todos (real) $x$. Pero la función de $f(x)=e^{-x}+2$ no tiene ningún valor mínimo. Tiene un límite inferior, incluso un mayor límite inferior (es decir,$f(x) \ge 2$), pero en realidad nunca alcanza mayor que el límite inferior.

3. Incluso si una función no alcanzar un valor mínimo, no hay ninguna garantía de que la derivada no es $0$. Por ejemplo, la función de $f(x)=x^{2/3}$ está definido en todos los de $\mathbb{R}$ y alcanza su valor mínimo en $x=0$, pero la derivada no es $0$ debido a que la función no es diferenciable en a $x=0$. En general, recuerde que los valores críticos de una función ocurrir donde la derivada es cero o indefinido.

4. Si se trata de una función que se define en algunas de dominio restringido (en lugar de en toda la recta real), un valor mínimo puede ser alcanzado en un extremo, en lugar de a un valor crítico. Por ejemplo, si consideramos que la función $f(x)=\tan(x)$ definido en $[0, \pi/2)$ (lo que sería razonable dominio de si $x$ representa un ángulo en un triángulo rectángulo), el mínimo se produce en $x=0$.

Habiendo dicho todo esto, es cierto que si usted puede encontrar el mínimo global de la función, y muestran que el valor mínimo es positivo, que sería la de establecer la desigualdad está tratando de demostrar. Pero eso es un gran "si".