¿Hay algún no-auto-referencial declaraciones que no se puede asignar un valor de verdad?

Question

Declaraciones como

A) A is false.

o

B1) B2 is true.
B2) B1 is false.

no se puede asignar un valor de verdad debido a su uso paradójico de la auto-referencia. Son todas las declaraciones que carecen de un valor de verdad auto-referencial, o hay no-auto-referencial declaraciones que también se le puede asignar un valor de verdad?

Formulado de otra manera: ¿todos los no-auto-referencial declaración se le asigna un valor de verdad?

Edit: yo creo que lo que me refiero, auto-referencial, es un conjunto de instrucciones en las que al menos una declaración en el conjunto se refiere a una declaración en el conjunto. Pero tal vez hay una mejor definición.

Answer 1

Uno de los principales descubrimientos de la teoría de la investigación durante los últimos cincuenta años, es la generalización de la independencia fenómeno, el fenómeno por el cual numerosas afirmaciones fundamentales de la teoría de conjuntos son independientes de los principales axiomas de la teoría de conjuntos. Muchos casos de este fenómeno ubicuo se describen en este mathoverflow pregunta. No sólo es la hipótesis continua independiente de ZFC, pero una enorme cantidad de otros recursos naturales de las preguntas que surgen en la teoría de conjuntos, infinita combinatoria y muchos campos relacionados son independientes de ZFC, hasta el punto de que los teóricos de comenzar ahora con la expectativa de cualquier trivial conjunto de la teoría de la declaración, que es razonablemente probable que ser independientes de nuestros axiomas.

Ninguno de estos surge naturalmente independiente declaraciones instancias de la independencia fenómeno es auto-referencial, y puesto que son independientes, en la mayoría de los casos set-teóricos están en una pérdida para explicar cuál es su correcto valor de verdad. Por lo tanto, estas declaraciones pueden ser vistos como instancias de la clase que usted busca: no-auto-referencial declaraciones, que nos parecen incapaces de asignar un valor de verdad definido.

La cuestión de la matemática de la verdad de tales afirmaciones, corre profundamente en las cuestiones filosóficas sobre la naturaleza de la matemática de la verdad y de la existencia. Para probar esto, me pueden recomendar algunos de la literatura que hemos leído para mi reciente curso de la NYU en la filosofía de la teoría de conjuntos.

Answer 2

JDH ha dado un profundo, interesante respuesta, pero es profundo y muy interesante, en parte porque se relaciona con ZFC, que es una profunda e interesante teoría. Formal de teorías matemáticas no tiene que ser profunda e interesante, y es posible responder a esta pregunta utilizando muy simples y sencillos ejemplos.

Aquí está un ejemplo de una teoría matemática:

Hay tres bien formado fórmulas en esta teoría: x, y y z. Tenemos un axioma que dice que x es verdadera, y otro axioma que dice y es falso. Eso es todo. Esta teoría no tiene reglas gramaticales para la producción más complejas fórmulas más simples, no hay otro tipo de maquinaria. En esta teoría, z no se puede asignar un valor de verdad.

Menos trivial ejemplo es el siguiente. Tomar Tarski del axiomas y eliminar el axioma de Euclides. Este es un sistema formal que representa las mismas ideas, como Euclides de la formulación original de la geometría del plano, pero sin el postulado paralelo. En este sistema, tenemos varias declaraciones que no se pueden asignar valores de verdad. Una de ellas es el axioma de Euclides (es decir, básicamente el postulado paralelo). Otro sería el teorema de Pitágoras.

La auto-referencial cosa es una interpretación de una determinada estrategia utilizada por Gödel para la construcción de indecidible declaraciones en las teorías que pueden describir una cierta cantidad de la aritmética. Tenga en cuenta las tres partes: (1) una interpretación, (2) una estrategia en particular, y (3) sólo para las teorías que pueden describir una cierta cantidad de la aritmética.

Los ejemplos que he dado anteriormente no requieren de Gödel de la estrategia. Además, Gödel estrategia no es siquiera el trabajo de Tarski del sistema, debido a que Tarski del sistema no pueden describir la cantidad necesaria de la aritmética.

Incluso en los ejemplos que hacen uso de Gödel de la estrategia, la auto-referentialism es sólo una interpretación. El indecidible declaraciones no literalmente se refieren a sí mismos -- que sólo puede ser interpretado de esa manera.